Derivando la ecuación diferencial parcial de Black Scholes bajo la acción como numeraire

Question

Hay muchas formas de derivar la EDP de Black Scholes. La forma Martingale sería exigir que el precio de la opción sea libre de deriva según medidas particulares. A continuación, derivaré la EDP correcta utilizando la cuenta bancaria como numéraire, pero fallaré al obtener la EDP correcta al usar la acción como numéraire. Espero que alguien pueda señalar en qué me estoy equivocando.

Derivando la EDP de Black Scholes utilizando la cuenta bancaria como numéraire

Una de las formas de derivar la ecuación de Black-Scholes es tomar la cuenta bancaria $B_t$ como un numéraire y luego exigir que $d\frac{C_t}{B_t}$ sea libre de deriva. A continuación conservo el subíndice denotando el tiempo de manera implícita.

Concretamente, bajo este numéraire $W_B$ (donde $B$ representa la cuenta bancaria)

$$ dS=S r dt + S \sigma dW_B \\ dB=B r dt $$ entonces simplemente obtenemos $$ \begin{eqnarray} d\frac{C}{B} &=& \frac{\partial_t C dt + \partial_S CdS + \frac{1}{2} \partial_{S,S} CdS^2 }{B}-\frac{CdB}{B^2} \\ &=& \frac{\partial_t C + r S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC}{B} dt + \frac{\sigma S \partial_S C}{B} dW_B + \mathcal O({dt}^{3/2}) \end{eqnarray} $$ y exigir que $\frac{C}{B}$ sea una Martingala requiere la anulación del término de deriva y obtenemos la EDP de Black Scholes: $$ \partial_t C + r S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC=0 $$

Intentando derivar la EDP de Black Scholes utilizando la acción como numéraire

Ahora intento hacer lo mismo mientras tomo la acción como numéraire. Exigiré, como de costumbre, que $d \frac{C}{S}$ sea una Martingala bajo esta medida. Bajo esta medida tenemos $$ dS = S(r+\sigma^2) dt + S \sigma dW_S $$ entonces obtenemos $$ \begin{eqnarray} d\frac{C}{S} &=& \frac{\partial_t C dt + \partial_S CdS + \frac{1}{2} \partial_{S,S} CdS^2 }{S}-\frac{CdS}{S^2} + \frac{CdS^2}{S^3} \\ &=& \frac{\partial_t C + (r+\sigma^2) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C}{S} dt + \frac{\sigma S\partial_S C dW_S}{S} - \frac{C}{S}\big((r+\sigma^2) dt + \sigma dW_S \big)+\frac{C}{S}\sigma^2 dt +\mathcal O(dt^{3/2}) \\ &=& \frac{\partial_t C + (r+\sigma^2) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC}{S} dt + \frac{\sigma S \partial_S C-C}{S} dW_S +\mathcal O({dt}^{3/2}) \end{eqnarray} $$

EXIGIR ahora que el término de deriva sea cero me da un término extra $$ \partial_t C + (r+\color{red}{\sigma^2}) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC=0 $$

Answer 1

Te falta el término transversal cruzado en la fórmula de Ito que utilizas para expresar $d\left ( \frac {C_t}{S_t} \right)$. Más específicamente (ver [Remark] a continuación),

$$d\left ( \frac {C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} dC_t - \frac {C_t}{S_t^2} dS_t + \frac {C_t}{S_t^3} d\langle S_t, S_t \rangle {\color{green}{- \frac {1}{S_t^2} d\langle C_t, S_t \rangle}}$$

Este último término se evalúa como $$-\partial_S C_t \sigma^2 dt $$

Lo que significa que se puede escribir:

$$d\left( \frac{C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} (\partial_t C_t dt + \partial_S C_t dS_t + \frac {1}{2} \partial_{SS} C_t \sigma^2 S_t^2 dt) - \frac {1}{S_t} \left( (r+\sigma^2) C_t dt + \sigma C_t dW_t \right) + \frac {1}{S_t} \sigma^2 C_t dt - \frac {1}{S_t} \partial_S C_t \sigma^2 S_t dt$$ o de forma equivalente después de reorganizar algunos términos $$d\left( \frac{C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} (\partial_t C_t + r S_t \partial_S C_t + \frac {1}{2} \partial_{SS} C_t \sigma^2 S_t^2 - rC_t ) dt + (.) dW_t$$

De ahí la ecuación de Black-Scholes de la representación martingala.

[Remark] Este resultado simplemente proviene de aplicar la versión bidimensional del lema de Ito $$df = (\partial_t f) dt + (\partial_X f) dX_t + \frac {1}{2} (\partial_{XX} f) d\langle X_t \rangle + (\partial_Y f) dY_t + \frac {1}{2} (\partial_{YY} f) d\langle Y_t \rangle + (\partial_{XY} f) d\langle X_t, Y_t \rangle$$

A la función $f (t, X_t,Y_t) = \frac {X_t}{Y_t} $