Básicos De Un Modelo De Crecimiento De Solow: La Estabilidad De La Prueba

Question

Estoy leyendo a través de McCandless "El Abc de los glóbulos rojos" este verano para obtener una vista previa de lo que necesito saber para el próximo semestre de Otoño. No pasó mucho tiempo para encontrar una declaración en la que fácilmente se puede aceptar, pero no puede probar. En la Página 9 después de deducir la condición de estado estacionario de $(\delta + n)\bar{k} = \sigma A_0 f(\bar{k})$ cero-tecnológico régimen de crecimiento (donde $\delta$ es la depreciación y $n$ es la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo), el autor dice que "la estabilidad del positivo estado estacionario puede ser visto a partir de la ecuación $$ k_{t+1} = g(k_t) = \frac{(1-\delta)k_t + \sigma A_0 f(k_t)}{1+n}$$ Aviso que entre el 0 y el positivo de $\bar{k}$, la función $g(k_t)$ está por encima de la línea de 45 grados, de modo que $k_{t+1}$ es mayor que k_t." Él proporciona un estándar de aspecto modelo de Solow diagrama de estado, donde puedo verificar gráficamente, pero no de forma analítica.

Estoy tratando de probar cada una de las declaraciones en el libro con el fin de familiarizarme con los detalles de la teoría macroeconómica antes de la inmersión más profunda, pero estoy absolutamente perplejo en cuanto a cómo iba a demostrar que $k_{t+1} > k_t$ cuando $0 < k_t < \bar{k}$ y viceversa. Probé por primera vez la manipulación de la capital de la ecuación de movimiento para probarlo directamente, y yo no podía llegar a una prueba. La siguiente estrategia que he estado tratando de emplear es para diferenciar la capital de movimiento ecuación y demostrar que su derivada es menor que 1 en el estado estacionario, pero se produce un error:

$$ \frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t} = \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(k_t)}{1+n} > \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(\bar{k})}{1+n} = \frac{(1-\delta)+(\delta+n)}{1+n} = 1 $$

¿Alguien tiene una estrategia alternativa puedo seguir? Se ha de conducir me tuercas para dos días.

Answer 1

La integridad, permítanme ilustrar esto en el marco de tiempo continuo. La ecuación de Solow, en el más simple de los casos, es

$\dot{k} = s f(k) - \delta k = \phi(k)$

Entonces tenemos

$\frac{\partial \phi}{\partial k} = s f'(k) - \delta = \frac{sf'(k)k - \delta k }{k}$.

En el estado estacionario (es decir, $\dot{k} = \phi(k^{\ast}) = 0$), tenemos $\delta k = s f(k)$, por lo tanto

$\left. \frac{\partial \phi}{\partial k} \derecho|_{k=k^{\ast}} = \frac{s f' k - s f(k)}{k} = \frac{s}{k} f(k) \left[ \frac{k \cdot f'}{f(k)} - 1 \right]$

Dado que tanto $\frac{s}{k}$ y $f(k)$ son siempre positivo, el signo de la expresión depende de que el término entre corchetes. Pero recuerde que $\frac{k \cdot f'}{f(k)}$ es la salida de la elasticidad de la capital, que es menor que 1 si $f$ es cóncava en $k$, lo que significa que $\frac{\partial \phi}{\partial k}$ en $k^{\ast}$ es negativo. Por lo tanto, por el teorema 3.2.1 en el Zhang (2005), el estado estacionario en el modelo de Solow es estable.

Answer 2

Para la estabilidad, queremos $$\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}\Big|_{\bar k} <1 \implica \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(\bar k)}{1+n} <1$$

$$ \implica que f'(\bar k) < \frac {\delta+n}{\sigma A_0 } = \frac {f(\bar k)}{\bar k}$$

Así que tenemos el producto marginal del capital sea menor que el producto medio en el estado estacionario.

Equivalentemente, tenemos $\bar k f'(\bar k) < f(\bar k) \implica f(\bar k)-\bar k f'(\bar k)>0$. Y esto vale, ¿no? De lo contrario...