Cómo conseguir el Movimiento Browniano Geométrico de la forma cerrada de la solución en el modelo Black-Scholes?

Question

El Black Scholes modelo se asume que la dinámica de la subyacente, también conocido como el Movimiento Browniano Geométrico: $$dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t)$$

Entonces la solución está dada: $$S_t=S_0\,e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t}$$

Puede ser demostrado por Ito Lema de la función $f(t,W_t)=\ln S_t$ que esta solución es correcta, ya que conduce a la anterior dinámica.

Pero ¿cómo podemos resolver el anterior SDE originalmente para encontrar esta solución?

Adivinar la solución anterior para aplicar Ito parece raro para mí.

Answer 1

Si por 'resolver' que quieres decir, ¿cómo sabemos que $\ln S_t$ es el derecho de cambio de variable, entonces usted puede ir por el siguiente (no riguroso) línea de pensamiento:

• Ito fomula sugiere que dado un SDE $$dX_t = \mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t$$ y una función $f(x,t)$: el SDE para el proceso de $Y_t=f(X_t,t)$ satisfacer $$dY_t = [f_t(X_t,t) + f_x(X_t,t)\mu(X_t,t) + \frac{1}{2}f_{xx}(X_t,t)\sigma^2(X_t,t)]dt+f_x(X_t,t)\sigma(X_t,t)dW_t$$
• Ahora el SDE para el precio spot es, como usted escribió, dada por $$dS_t = \mu S_tdt+\sigma S_t dW_t$$: por lo tanto, una transformación $f$ aplicado a este SDE tendrá dinámica dada por $$dY_t = [...]dt+f_x(S_t,t)\sigma S_t dW_t$$
• Queremos que la transformación a matar a la dependencia de la volatilidad en el lugar, por lo tanto queremos para 'resolver', algo así como '$f_x(S_t,t)\sigma S_t = const.$' lo que en esencia significa '$f_x(x,t) = \frac{1}{x}$'. Esto apunta hacia la conjetura $$f(x,t)=\ln x$$.