Propiedades cualitativas de llamada

Question

He leído en algún sitio que nos puede mostrar mediante arbitraje argumento de la siguiente relación de opción call :

$$\frac{\partial{C_t(T,K)}}{\partial{K}}\leq0$$

$$\frac{\partial^2{C_t(T,K)}}{\partial{K^2}} \geq0$$

$$\frac{\partial{C_t(T,K)}}{\partial{T}} \geq0$$

donde $C_t(T,K)$ es un precio en el momento t, para una huelga K, con vencimiento T, obviamente podemos mostrar estos relación al tomar la derivación por ejemplo, con respecto a la madurez para la última relación, o para mostrar la segunda relación (es decir, la mariposa de la propagación de la relación, sólo tenemos que notar que la rentabilidad es una función convexa de la huelga y, a continuación, la segunda derivada es siempre positiva o nula,pero estoy buscando el arbitraje argumento para demostrar estas relaciones. Si alguien tiene alguna idea de mostrar lo agradecería.

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} (1) & \partial_KC_t(T,K) & \leq 0 \\ (2) & \partial^2_KKC_t(T,K) & > 0 \\ (3) & \partial_T C_t(T,K) & \geq 0 \\ \end{array}$$

Si $(1)$ doesnot espera, existe $K_1<K_2$ tales que $C_t(T,K_1)<C_t(T,K_2)$. A continuación, como barrycarter dijo en su comentario, se vende $C_t(T,K_2)$ y compra $C_t(T,K_1)$, por lo que su posición de efectivo es de $C_t(T,K_2)-C_t(T,K_1)>0$, en la madurez de recibir $(S_T-K_1)^+-(S_T-K_2)^+\geq 0$. Hay un arbitraje.

Si $(2)$ doesnot espera, existe $\epsilon>0$ y $K>\epsilon$ tales que $C_t(T,K-\epsilon)+C_t(T,K+\epsilon)\leq 2 C_t(T,K)$. Luego de comprar $C_t(T,K-\epsilon)$ y $C_t(T,K+\epsilon)$ y la venta de $2C_t(T,K)$, su posición de caja es de $2 C_t(T,K) - C_t(T,K-\epsilon)+C_t(T,K+\epsilon)\geq 0$. en la madurez se obtiene $(S_T-(K+\epsilon))^++(S_T-(K-\epsilon))^+-2(S_T-K)^+\geq 0$, que es el de la mariposa de propagación que usted menciona. Tenga en cuenta que con los no-nula probabilidad, esta rentabilidad es positiva. De nuevo hay un arbitraje.

Suponiendo que hablar de american opciones de llamada. Si $(3)$ doesnot espera, existe $T_1<T_2$ tales que $C_t(T_1,K)>C_t(T_2,K)$. Luego de comprar $C_t(T_2,K)$, se vende $C_t(T_1,K)$, su posición de caja es de $C_t(T_1,K)-C_t(T_2,K)>0$. En cualquier momento $\tau\leq T_1$, el comprador de $C_t(T_1,K)$ puede ejercer su derecho y, a continuación, usted le debe $(S_\tau-K)^+$, pero puesto que usted compra una opción americana $C_t(T_2,K)$, usted también puede ejercer su derecho en vez de $\tau$ y posición neta. De nuevo ya que se puede construir un efectivo positivo de la posición que conduce a un no-negativo positivo (aquí igual a $0$), se construye un arbitraje.

Tenga en cuenta que esta tercera relación se mantenga con cualquier estadounidense opciones. Y tenga en cuenta que las dos primeras relaciones, también trabajo con american llamadas mediante la adaptación de los $T$ a $\tau$ siendo el tiempo de ejercicio de la agente que compra de opciones call.