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"La deriva del precio de la acción se convierte en la tasa de interés sin riesgo" bajo RNP

Asumir que la evolución del precio de una acción es el Movimiento Browniano geométrico

$$ dS=\mu Sdt+\sigma SdW(t) $$

donde $S$ es el precio de las acciones en el tiempo $t$ (hora actual). Dice en mi libro "bajo la neutrales al riesgo probabilidad de medida, la deriva del precio de la acción $\mu$ se convierte en el riesgo de tasa de interés libre de $r$" y escribe

$$ dS=rSdt+\sigma SdW^{*}(t). $$ donde $W^{*}$ es un B. M. bajo RNP $Q$ (riesgo neutral de probabilidad).

Es la ecuación de arriba definitivamente correcto? Hay un la justificación para esto?

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Crackerjack Puntos 1191

Sí, usted puede tomar esto como la definición de los neutrales al riesgo probabilidad $P$.

Ahora voy a tratar de dar algunos intuición para ese tipo de construcción.

Se asume el riesgo de tasa de interés libre de $r$ es constante y que el mundo se termina en el tiempo $T$. Supongamos que usted tiene una seguridad $B=B_t$, que es libres de riesgo, es decir, que sigue la dinámica de la $$ dB/B = r \, dt $$ de modo que, desde $ dB/B = d \ln B $, usted puede ver fácilmente que $B_t = B_0 e^{rt}$. En otras palabras, el proceso de $B_t$ crece a la misma velocidad de la tasa libre de riesgo. Para la seguridad de este, el precio en el tiempo cero es de $B_0$, que coincide con el valor descontado de su beneficio esperado: $$ e^{-rT} E[B_T] = e^{-rT} E[B_0 e^{rT}] = e^{-rT} B_0 e^{rT} = B_0 \,.$$

Ahora considere la posibilidad de una acción que es arriesgado, ya que sigue la dinámica de la $$ dS/S = \mu \, dt + \sigma\,dW $$ con $\mu > r$ y $\sigma$ constante y $dW$, un estándar de Movimiento Browniano, siendo la fuente de riesgo. Esta vez, el proceso $S$ crece la expectativa con velocidad $\mu$, y su descuentos en beneficio esperado $$ e^{-rT}E[S_T] = e^{-rT} S_0 e^{\mu T} = S_0 e^{(\mu-r) T} > S_0 $$ es más grande que su valor actual $S_0$. ¿Por qué es así? Bien, porque hay algunos riesgos involucrados en la celebración de $S$, por lo que su precio debe ser inferior a w.r.t. un libres de riesgo de seguridad! De esta manera el inversionista que compra la bolsa de valores en vez de $0$ serán compensados por el cojinete de este riesgo, es decir, de bolsillo que una prima de riesgo. El riesgo-neutral probabilidad $Q$ es el que le da el derecho de los precios cuando se mira en el descuento del beneficio esperado, es decir, $$ S_0 = e^{-rT}E^Q[S_T]\,. $$ Si has seguido mi razonamiento tan lejos, ahora debería estar claro que $P$ es que la probabilidad de que $$ dS/S = r\, dt + \sigma\, dW^P $$ con $dW^Q$ de ser un Movimiento Browniano por debajo de los $P$.

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