Diga $Q(t)$ es el tipo de cambio en el momento $t$ . Es el precio en moneda nacional de una unidad de moneda extranjera y convierte la moneda extranjera en moneda nacional.
El modelo para la dinámica de este tipo de cambio es:
$$\frac{dQ(t)}{Q(t)}=\mu_Q dt+\sigma_Q dB(t)$$
A continuación, el tipo de cambio inverso, $R(t)$ sería el precio en moneda extranjera de una unidad de moneda nacional modelado por:
$$R(t)=\frac{1}{Q(t)}$$
Mi pregunta es, ¿cómo podría derivar $dR(t)$ ?
Con la ayuda del lema de Itô, se puede demostrar que
$$df(Q)=f'(Q)dQ+\frac{1}{2}f''(Q)dQ^2 \; .$$
Poniendo $R=f(Q)=1/Q$ y utilizando
$$\frac{dQ(t)}{Q(t)}=\mu_Q dt+\sigma_Q dB(t)$$
debes conseguir
$$dR = \frac{\sigma_Q^2-\mu_Q}{Q}dt-\frac{\sigma_Q}{Q}dB$$
o de forma equivalente
$$\frac{dR(t)}{R(t)} = (\sigma_Q^2-\mu_Q)dt-\sigma_Q dB(t) \; .$$
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