Beta y frecuencia de los datos

Question

¿Por qué las betas de los valores individuales son esencialmente las mismas si utilizamos datos diarios o semanales para el cálculo?

Answer 1

Suponga que tiene $$X\equiv\left(x_{1},\: x_{2}\right) $$ donde $x_{1}$ son los rendimientos diarios del valor y $x_{2}$ son los rendimientos logarítmicos diarios del mercado. Supongamos además que $X$ es normal multivariante iid $$X\sim N\left(\mu,\Sigma\right) $$ La gente suele calcular la beta como $$\beta_{1,2}\equiv\frac{\Sigma_{1,2}}{\Sigma_{2,2}} $$ Si convierte $X$ de una serie diaria a una serie semanal, se podría decir que las variables semanales son simplemente la suma de las variables diarias. Debido a las propiedades de una distribución normal, esto significa que se podría escribir $$X_{weekly}\sim N\left(5\mu,5\Sigma\right) $$ Esto implica una beta semanal de $$\beta_{1,2}^{weekly}\equiv\frac{5\Sigma_{1,2}}{5\Sigma_{2,2}}=\frac{\Sigma_{1,2}}{\Sigma_{2,2}}$$ o que la beta es la misma que la versión diaria.

Este argumento tiene algunas aristas. En primer lugar, los rendimientos pueden no tener una distribución normal iid, lo que significa que la covarianza de los datos semanales puede no ser proporcional a la covarianza de los datos diarios. En segundo lugar, la beta que realmente importa a un inversor es la beta prospectiva de los rendimientos aritméticos. Esa beta es más complicada de calcular, ya que implica la conversión entre los rendimientos logarítmicos y los aritméticos.