El CVaR/VaR Coeficiente alfa va a 1

Question

Estoy teniendo problemas para tomar el siguiente límite de CVaR/VaR para una distribución normal, como alfa enfoques 1:

$\lim_{\alpha \1} \frac{\mu + \sigma \frac{\phi^{-1}(\alpha)}{1-\alpha}}{\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha)}$

Primero traté de tirar de los $(1-\alpha)$ de la CVaR denominador para obtener:

$\lim_{\alpha \1} \frac{\mu(1-\alpha) + \sigma {\phi^{-1}(\alpha)}}{(1-\alpha)(\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha))}$

Entonces pensé que tal vez necesito usar la regla de L'Hospital, pero no tengo idea de cómo hacerlo que con una normal inversa incrustada en mi función. Siento que estoy probablemente falta algo simple (y mis días de cálculo están demasiado lejos detrás de mí). Consejos para cómo calcular este límite?

Muchas gracias.

Answer 1

Si la pérdida de la distribución es normal con una media de $\mu$ y variación $\sigma^2$, entonces el Valor-en-Riesgo y Expexted Déficit (o CVaR) en el nivel $\alpha \en (0, 1)$ son \begin{align*} \mbox{VaR}_\alpha & = \mu + \sigma \Phi^{-1}(\alpha) , \\ \mbox{ES}_\alpha & = \mu + \sigma \frac{\phi\{\Phi^{-1}(\alpha)\}}{1 - \alpha} , \end{align*} donde $\phi$ denota la función de densidad de la distribución normal estándar, y $\Phi$ su función de distribución.

Recordemos que la derivada de la densidad es de $\phi'(z) = -z\phi(z)$. A continuación, la configuración de $x = \Phi^{-1}(\alpha)$ y por la regla de l'Hospital, el límite del cociente es $$ \lim_{\alpha \1} \frac{\mbox{ES}_\alpha}{\mbox{VaR}_\alpha} = \lim_{x \to \infty} \frac{\mu \{1 - \Phi(x)\} + \sigma \phi(x)}{(\mu + \sigma x) \{1 - \Phi(x)\} } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \sigma \frac{1 - \Phi(x)}{(\mu + \sigma x)\phi(x)}}, $$ y por la regla de l'Hospital $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \Phi(x)}{(\mu + \sigma x)\phi(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(\mu + \sigma x)x - \sigma} = 0. $$ Por lo tanto, $$ \lim_{\alpha \1} \frac{\mbox{ES}_\alpha}{\mbox{VaR}_\alpha} = 1 . $$

Answer 2

No sé qué hizo cuando trató de sacar $1-\alpha$, la expresión correcta sería

$\lim_{\alpha \1} \frac{\mu(1-\alpha) + \sigma {\phi^{-1}(\alpha)}}{(1-\alpha)(\mu + \sigma \phi^{-1}(\alpha))}$.

De todos modos, usted puede intentar el uso de la sustitución $\Phi^{-1}(\alpha) = x$, $x \to \infty$ y $\alpha = \Phi(x)$. A continuación, la expresión se convierte en

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\mu + \sigma x/(1-\Phi(x))}{\mu + \sigma x}$

Entonces, tal vez usted puede L'Hospitals de aquí en adelante. Es un poco desordenado, pero con un poco de esfuerzo, usted podría ser capaz de hacerlo.

¿Tiene usted la respuesta?