¿Cuánto hay que invertir para llegar a un objetivo?

Question

Su actual riqueza es de $W$. Cada día, usted puede invertir una parte de ella; hay una probabilidad de p $$ que usted va a ganar tanto como usted invirtió us $1-p$ que usted se lo pierde. Desea llegar a un destino riqueza $W_T$ en $n$ días. Cada día, usted puede elegir la fracción $f$ de su riqueza para invertir. ¿Cómo elegir $f$ para maximizar la oportunidad para que consigas tu objetivo en el tiempo?

Si le ayuda, se asume que $p > 0.5$, $n \gg 1$.

Esto es esencialmente un puro problema de matemáticas, pero pensé que sería interesante para los quants. He visto discusiones de problemas similares (por ejemplo, "se Puede hacer mejor que Kelly en el corto plazo?", Browne (2000)), pero ellos asumen un resultado continuas y algunas otras cosas. También me gustaría ser feliz con un camino a encontrar $f$ a través de simulaciones, una fórmula analítica no es esencial.

[Edit: usted no puede apostar más de lo que actualmente tienen. Tendría que haber especificado esto antes.]

Answer 1

Vamos a $w^*$ ser su destino riqueza y $w_0$ ser su cantidad inicial. Una estrategia muy eficaz podría aplicar es la siguiente,

Día 1: Apuesta $w^* - w_0$; si la apuesta se resuelve en su favor, a continuación, usted ha alcanzado su objetivo riqueza y detener así; de Otra

Día 2: la Apuesta de $2(w^* -w_0)$; si la apuesta se resuelve en su favor, a continuación, usted ha alcanzado su objetivo riqueza y detener así; de Otra

Día 3: la Apuesta de 4 $(w^* -w_0)$; si la apuesta se resuelve en su favor, a continuación, usted ha alcanzado su objetivo riqueza y detener así; de Otra

... Día N: Apuesta de $2^{N-1}(w^* -w_0)$ si la apuesta se resuelve en su favor, a continuación, usted ha alcanzado su objetivo riqueza y detener así; de lo contrario, usted no tiene suficientes fondos para llegar a su destino de la riqueza; es decir, $2 w(t) < w^*$ :(

El número de apuestas que puedes realizar es de $N+1$ donde $$ N es el mayor entero tal que,

$$ 2 \Big ( w_0 - (w^* - w_0) \sum_{k=0}^N 2^k \Big ) \geq w^*$$

Es decir,

La probabilidad de que la estrategia sea exitosa es entonces el complemento de la estrategia de fracasar en cada ensayo,

$$ 1 - (1-p)^{N+1} $$

Por ejemplo, si la probabilidad de éxito es de $p=0.6$, cantidad inicial es de $w(0)=w_0 = 100$, y el objetivo de la riqueza es de $w^* = 105$, a continuación, puede colocar $4$ de apuestas, cada uno con la posibilidad de alcanzar el objetivo de la riqueza. La probabilidad de éxito es el complemento de la probabilidad de falla que es, $(1-0.6)^4 = 0.0256$ y, entonces, la probabilidad de llegar a su destino de la riqueza es de $1 - 0.0256 = 0.9744 $, que es bastante bueno. Puede visualizar esta con un diagrama de árbol y ayuda a explicar el razonamiento.

Con todo, no estoy seguro de si este es el óptimo, pero parece muy eficaz.

Me di cuenta también de la política, $f = f(w)$ se puede expresar como,

$$ w(t+1) = w(t) + \max\{0,w^* - w(t)\}\mathcal{X}_{t+1}$$

por $t \leq T$ con $T$ elegido de tal manera que es el entero más grande de los cuales $2 w(T-1) \geq w^*$ en todos los casos, en particular cuando se pierde en cada apuesta. $\mathcal{X}_{t+1}$ es una variable aleatoria que toma los valores de 1 $$ y $-1$, con probabilidades correspondientes.

Answer 2

Tratando de conseguir que esto comenzó voy a ir a por lo que creo que es la parte más fácil, en un muy handwaving manera si vas a excusa:

Con el número de días bastante grande que es probable que no termine el último día con la riqueza $W$ entre $0$ y destino de la riqueza $W_T$, la distancia de tiempo para el último día pierde significación y el problema podría ser enunciado en forma invariable en el tiempo con $W$ en desarrollo entre el infinito de las fronteras de la quiebra y de destino. Por $p > 0.5$ nos convertiremos en riesgo adversos como excpected las ganancias son positivas y queremos apostar con cautela para permanecer dentro del intervalo para cosechar esos beneficios con el beneficio añadido de la diversificación entre muchas apuestas. Y si en vez de $p < 0.5$ nos convertimos en riesgo amar como no queremos dejar negativo de los rendimientos esperados, desgastar nuestra riqueza de la repetición de la reproducción.

A continuación se apuesta todo en uno va a exponer esperado negativo devuelve sólo una vez, pero no más de lo que tardaría en llegar a $W_T$; este trivialmente hechizos como:

para $ n>>1 $ y $p<0.5$:

$$f(W) = min(1,W_T/W-1)$$

Actualización: Por el mismo argumento para $ n>>1 $ y $p>0.5$:$$W>0: f(W) > 0; f(0) = 1$$ Ahora, esto es de alguna manera, todavía de la respuesta final como supongo que la pregunta está pidiendo, ya sea para la expresión exacta para $f$, pero preferiblemente de forma aproximada, dado un determinado valor de $ n>>1 $?

Update2: Para obtener un óptimo $f(w)$ para un determinado $n$ y $p>0.5$; escribir la transición del árbol hacia atrás a partir de $n = 0$ para un par de $n$:s. Para los nodos en el árbol, utilice el nivel más bajo de $W$ en cada intervalo de $W$:s que tienen la misma probabilidad de ganar. Para $n=1$ por ejemplo, por lo tanto tenemos a $W/W_t = 0.5$ como un nodo dentro del intervalo. Con el fin de viajar a través de tantos nodos como sea posible hacia un ganar o perder para explotar $p>0.5$ tenemos a la única apuesta que lo que necesitamos para llegar a la más cercana de los nodos en el siguiente paso de tiempo. Vemos en el árbol que esta cantidad es a veces $0$, y a veces de $1/2^n$. Mirando más de cerca es más visto que:

por $p>0.5; W>=W_T/2^n$:

si $int((W/W_T)/2^n)$ es un número impar: $$f(W) = (1/2^n)*W_T/W$$ de otra manera: $$f(W) =0$$

Igualmente óptimo, pero más suave que usted podría utilizar una forma de diente de sierra para $f$ variando linealmente entre $0$ en hasta valores por $int((W/W_T)/2^n)$ y $(1/2^n)*W_T/W$ en valores impares.

Update3: Por $p=0.5$ lejos del último día en que el juego sea justo y que el resultado no depende de cómo jugamos. La única cosa que tenemos que hacer es apostar con valentía suficiente para no terminar con $0<W<W_T$ cuando el juego está terminado y, por supuesto, no para alcanzar logros que nos pondría por encima de los $W_T$. Por lo tanto cada elección: $$0<f<=min(1,W_T/W-1)$$ es igual de bueno lejos de la final. Utilizando el valor mayor de $f$ rendimientos por la simetría y la inducción de $$P(ganar) = W/W_T$$ Ahora usted puede utilizar y estacionariedad de $P(ganar)$ para mostrar que los valores más bajos para $f$ también trabaja con estos $P(ganar)$.

[Editado Actualización 2]