Simulaciones de (standard, unidimensional) el movimiento Browniano

Question

Considere los siguientes dos proyectos de simulaciones de rutas de la norma, de una dimensión movimiento Browniano entre el tiempo $0$ y de $1$.

1. Normal de los Incrementos de la implementación de la secuencia más larga de, digamos $M$, independiente de Gauss variables $X_1, X_2, X_3, \dots, X_M$ tales que $X_n \sim N\left(\mu=0, \sigma^2=\frac{1}{M}\right)$, y trazar un gráfico de dispersión de los puntos $(0.001 n, \sum_{i = 1}^n X_i)$, con líneas rectas que conectan los puntos consecutivos.

2. Paseo aleatorio Traza el camino de la unidimensionalidad de paseo aleatorio que se inicia en $0$ y avanza por pasos de $\pm \sqrt{\frac{1}{M}}$ cada $\frac{1}{M}$th de un segundo.

¿Alguno de estos métodos convergen a un movimiento Browniano camino? Si es así, ¿qué tipo de convergencia es?

Answer 1

Su primer caso no es sino la simulación de movimiento Browniano proceso.

El segundo caso es simplemente un punto de vista alternativo de su primer caso y por lo tanto también el movimiento Browniano. Bajo el movimiento Browniano, $dX_t \sim N(0, dt)$. Así, su incrementos deben seguir $N(0, \frac1M)$. Usted no ha indicado la probabilidad de su incremento, pero para que este proceso sea Brwonian movimiento, la probabilidad de arriba y abajo de paso debe ser de $0.5$.

La varianza de su incremento en $\frac1M$ segundo es: $$0.5 \left(\sqrt\frac1M-0 \derecho)^2 + 0.5\left(-\sqrt\frac1M-0\derecho)^2 = 0.5\frac1M + 0.5 \frac1M = \frac1M$$

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EDIT : ambos caso se discretiza forma de estándar de movimiento Browniano y que ambos son equivalentes. El segundo caso sólo convergen para el movimiento Browniano sólo si $lim_{m \to \infty}$