Las dos ecuaciones que suelen encontrarse en Internet para el GBM son:
$\begin{matrix} S_{ t }=S_{ 0 }\exp\left( \left( \mu -\frac { \sigma ^{ 2 } }{ 2 } \right) t+\sigma W_{ t } \right) \\ S_{ t }=S_{ 0 }\exp\left(\mu t+\sigma W_{ t } \right) \end{matrix}$
Encontré la primera en Wikipedia y el segundo en un PDF de la universidad de Columbia sobre la simulación de GBMs, Página 4 .
El primero la solución a: $$dS_t = S_t\left[\mu dt +\sigma dW_t\right]$$ La segunda es la solución a: $$ dS_t = S_t\left[\left(\mu -\frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma dW_t\right]$$
La diferencia es que la primera es una martingala cuando $\mu$ es igual a cero mientras que el segundo no lo es: $$ \mathbb{E}[S_0 exp(\sigma W_t)]= S_0exp(-\frac{\sigma^2}{2}t)$$
El que se suele utilizar en un contexto de ingeniería financiera es el primero.
La forma estándar de un movimiento browniano geométrico es $dS_t = S_t(\mu dt+\sigma dB_t)$ donde B es un BM y $\mu$ y $\sigma$ son dos números reales. Cuando se escribe este proceso en forma cerrada: es $S_t = S_0 exp(\mu t + \sigma B_t - \sigma ^2 t/2)$ . El proceso $(S_t e^{-\mu t}, t\geq 0)$ es una martingala.
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