Markowitz; frontera de activos de riesgo sin activo libre de riesgo

Question

¿Qué es la intuición ¿detrás del resultado de "spanning" en el siguiente enunciado?

Para un par fijo de carteras fronterizas distintas $\phi_p$ y $\phi_q$ cualquier cartera fronteriza $\phi$ puede obtenerse como una combinación lineal combinación lineal de $\phi_p$ y $\phi_q$ . Así, decimos que la frontera de la cartera se extiende por dos carteras fronterizas.

Answer 1

Prefiero interpretar la frontera media-varianza como una consecuencia del álgebra lineal tal y como se desarrolla en Hansen y Richard (1987) y se discute en Cochrane (2005). En resumen:

• El espacio de las devoluciones es un hiperplano en el espacio vectorial de los pagos.
• El conjunto de rendimientos en la frontera de la media-varianza es una línea en el espacio de los rendimientos.
  • Dos puntos distintos de una línea definen la línea. (A esto se reduce básicamente el teorema de separación de dos fondos).

¿Por qué una línea? Hablando en términos generales, sólo hay un dirección en el espacio de retorno para arriba (mayor retorno esperado), y moverse en cualquier dirección perpendicular no cambia el retorno esperado (pero sí la varianza). Si se desplaza hacia arriba de la línea, la rentabilidad esperada será mayor, si se desplaza hacia abajo, la rentabilidad esperada será menor, y si se desplaza perpendicularmente fuera de la línea, la varianza será mayor y la rentabilidad esperada será la misma.

Voy a esbozar brevemente algunos de los argumentos, pero lea Cochrane para una discusión más profunda.

Preliminares

Dejemos que $X$ y $Y$ denotan variables aleatorias. Obsérvese que $\operatorname{E}[XY]$ es un producto interior . $X$ y $Y$ se llaman ortogonales si su producto interior es cero, es decir, $\operatorname{E}[XY] = 0$ .

Dejemos que $R^*$ denotan la proyección del factor de descuento estocástico sobre el espacio de los pagos y escalado para que sea un retorno. El hiperplano de rendimientos excesivos es ortogonal al factor de descuento y $R^*$ . Sea $R^{e*}$ denotan la proyección de una constante $1$ en el espacio de los rendimientos excesivos. En el espacio de los retornos, moviéndose en la dirección $R^{e*}$ dará un mayor rendimiento esperado.

Descomposición ortogonal de Hansen Richard

Lo importante es que cualquier devolución $R_i$ puede escribirse utilizando la siguiente descomposición ortogonal:

$$ R_i = R^* + w_i R^{e*} + \eta_i$$

Diferentes rendimientos $R_i$ tendrán diferentes $w_i$ y $\eta_i$ . (Nota $w_i$ es un escalar y $\eta_i$ es una variable aleatoria). Obsérvese que por construcción $\eta_i$ es ortogonal a 1, por lo que $\operatorname{E}[\eta_i]= 0$ . Por lo tanto:

$$ \operatorname{E}[R_i] = \operatorname{E}[R^*] + w_i \operatorname{E}[R^{e*}]$$

Utilizando $R^*$ , $R^{e*}$ y $\eta_i$ son todas ortogonales entre sí, se puede demostrar además que:

$$ \operatorname{Var}(R_i) = \operatorname{Var}\left( R^* + w_i R^{e*} \right) + \operatorname{Var}(\eta_i) $$

El conjunto de rendimientos en la frontera media-varianza es la línea $ R^{mv} = \left\{ R^* + \alpha R^{e*} \mid \alpha \in \mathbb{R} \right\}$ . Cualquier rendimiento a lo largo de la frontera de la media-varianza tiene $\eta_i = 0$ . Un valor no nulo $\eta_i$ le da la varianza pero no cambia la rentabilidad esperada (porque el espacio en el que $\eta_i$ es ortogonal a $R^{e*}$ la proyección de $1$ en el espacio de los rendimientos excesivos). ¿Por qué? $1$ especial? El producto interno de una variable aleatoria con $1$ da su media.

Hansen Richard en el espacio de los pesos de seguridad (en lugar del espacio de retorno)

• Dejemos que $ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} R_1 \\ \ldots \\ R_k \end{bmatrix} $ sea un vector aleatorio que denote los rendimientos de $k$ valores.
• Que la matriz de covarianza $\Sigma = \operatorname{Cov}(\mathbf{R})$ y el vector de retorno medio $\boldsymbol{\mu} = \operatorname{E}[\mathbf{R}]$ .
• Por comodidad, dejemos que $A = \Sigma + \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\mu'}$ . (Por lo tanto $A = \operatorname{E}[\mathbf{R}\mathbf{R}']$ .)
• Definir el producto interior $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle_A \equiv \mathbf{x}' A \mathbf{y}$ .
• Dejemos que $\mathbf{1}$ denotan un vector de 1s.

Pesos de seguridad $ \mathbf{w}^*$ (un vector) y el correspondiente retorno $R^*$ (una variable aleatoria) vienen dadas por: $$ \mathbf{w}^* = \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'A^{-1}\mathbf{1}} \quad \quad R^* = \mathbf{w}^* \cdot \mathbf{R} $$

Pesos de seguridad $ \mathbf{w}^{e*}$ y el exceso de rendimiento $R^{e*}$ están dadas por: $$ \mathbf{w}^{e*} = A^{-1}\boldsymbol{\mu} - \left( \frac{\mathbf{1}' A^{-1} \boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}'A^{-1}\mathbf{1}}\right) A^{-1}\mathbf{1} \quad \quad R^{e*} = \mathbf{w}^{e*} \cdot \mathbf{R}$$

Las ponderaciones de los valores para las carteras en la frontera de la media-varianza son:

$$ \left\{ \mathbf{w}^{*} + \alpha \mathbf{w}^{e*} \mid \alpha \in \mathbb{R} \right\} $$

$$ \left\{ \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'A^{-1}\mathbf{1}} + \alpha \left[ A^{-1}\boldsymbol{\mu} - \left( \frac{\mathbf{1}' A^{-1} \boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}'A^{-1}\mathbf{1}}\right) A^{-1}\mathbf{1} \right] \,\middle|\, \alpha \in \mathbb{R} \right\} $$

O lo que es lo mismo:

$$ \left\{ \left( 1 - \beta \right) \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'A^{-1}\mathbf{1}} + \beta \frac{ A^{-1}\boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}' A^{-1} \boldsymbol{\mu}} \; \middle| \ \beta \in \mathbb{R} \right\} $$

Se trata de la misma frontera media-varianza trazada por las combinaciones de la cartera de varianza mínima $\mathbf{w}_{\mathrm{mv}} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma^{-1}\mathbf{1}}$ y la cartera de tangencia $\mathbf{w}_{\mathrm{tan}} = \frac{\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}}$ pero el álgebra para ver eso es un poco horrible.

Referencias

Cochrane, John, Precios de los activos , 2005

Hansen, Lars Peter y Scott F. Richard, "The Role of Conditioning Information in Deducing Testable Restrictions Implied by Dynamic Asset Pricing Models," Econometrica , 1987 enlace

Answer 2

Esto es más fácil de explicar con un ejemplo.

Supongamos que no hay un tipo de interés libre de riesgo, como parece implicar tu pregunta.

Supongamos también que hay dos carteras $\phi_p$ y $\phi_q$ con las siguientes características:

1. Ambos se encuentran en la frontera;
2. El primero tiene una rentabilidad esperada de 0,04 y una desviación estándar de 0,2
3. El segundo tiene una rentabilidad esperada de 0,10 y una desviación estándar de 0,3

Entonces tengamos un peso de $w_1$ en la primera cartera y de $w_2 = 1 - w_1$ en la segunda cartera. Si las carteras 1 y 2 están efectivamente en la frontera, entonces cualquier combinación de estas carteras estará en la frontera. He trazado dicha frontera en excel (ver abajo):

Esto se llama el teorema de separación de dos fondos. Una buena referencia es Teoría moderna de la cartera y análisis de la inversión .

Una implicación importante es que todos los inversores pueden obtener su mezclando dos fondos, en la frontera (basta con superponer curvas de indiferencia al gráfico anterior).