¿Ayuda a mejorar esta definición de "juego"?

Question

Mi profesor definió un juego de la siguiente manera:

• un conjunto de $n$ jugadores
• un conjunto de estrategias $s_i$ para cada jugador $i$
• un conjunto de pagos $p_i$ para cada jugador $i$
• toma de turnos: secuencial o simultánea
• repetición: $k$ rondas, donde $k\geq1$ y $k \in \Bbb{N}$

Tengo tres problemas con esta definición:

1. No definió matemáticamente la toma de turnos, así que me parece que es una definición vaga. Debería haber como un índice de turnos posibles con valor máximo $n$ . Pero no estoy seguro de cómo escribirlo formalmente.
2. No define cómo se hace el mapeo de las estrategias seleccionadas a los pagos. Es de suponer que el conjunto de resultados debería incluir un valor para cada combinación posible de estrategias seleccionadas. Pero también debería haber una manera de establecer esto formalmente.
3. No define lo que es una estrategia. Supongo que se podría decir simplemente que una estrategia es el objeto que mapeamos desde el dominio a un elemento del conjunto de resultados (es decir, el codominio). En ese sentido, cualquier cosa que pueda ser valorada es una estrategia, es decir, una acción posible.

Mi pregunta:

¿Puede alguien ofrecer una definición más completa que la dada? En concreto, asegúrese de que mejora las preocupaciones que he mencionado.

Answer 1

Su pregunta es un poco vaga, pero haré lo que pueda.

Tu profesor iba en la dirección matemática correcta, pero creo que lo que pides es una formalización más completa.

Cualquier juego puede considerarse un árbol (es decir, un gráfico no cíclico). Así que, para responder a tu primer punto sobre la toma de turnos, puedes pensar en una función que asigne los nodos del árbol a algún $i\in\{1,2,...n\}$ En la imagen de abajo, se podría definir una fórmula para caracterizar la toma de turnos, pero no necesariamente se puede hacer esto en general. En este ejemplo $P_1$ y $P_2$ tomar turnos secuenciales alternativos. $P_1$ puede elegir $L$ o $R$ entonces $P_2$ puede ver cuál eligió, y luego también elegir $L$ o $R$ .

Antes de pasar a tu segundo punto, tengo que dedicar un momento a definir los conjuntos de información, algo a lo que parece que aún no has llegado. Coloquialmente, un infoset es un conjunto de vértices que representan la incertidumbre. root de un árbol de juego es siempre un infoset singleton, por ejemplo. Considera el juego en el que tú y yo elegimos simultáneamente cara o cruz. Cuando $P_2$ elige si jugar a cara o cruz, tampoco sabe si yo he elegido jugar a cara o cruz. Así, mientras que el árbol del juego tendrá 3 vértices internos (1 que es root para $P_1$ y 2 para $P_2$ , reflejando $P_1$ ) sólo habrá 2 infosets porque ambos vértices para $P_2$ estarán contenidos en el mismo infoset. En los juegos en los que la toma de turnos es secuencial, todos los infosets deben ser singleton.

Volvamos a su pregunta sobre las estrategias. Cada jugador tiene un conjunto de estrategias. En el árbol de ejemplo proporcionado anteriormente $S_1 = \{LLLLL,LLLLR,...,RRRRR\}$ . Esto puede parecer un poco confuso al principio, ya que parece que cada elemento de $S_1$ va más allá de definir un camino. La estrategia de cada jugador se define en términos de infosets. Por tanto, el elemento $LLLLL$ debe leerse como, cuando $P_1$ se encuentra en la cima, elegirá $L$ y cuando se encuentre en el vértice más alejado de la izquierda y a 1 de la parte superior, también elegirá $L$ . También dice que si $P_2$ debían elegir $R$ en cambio, que $P_1$ elegiría $L$ . Por lo tanto, una estrategia es el conjunto de todas las acciones posibles que un jugador podría tomar bajo todas las contingencias posibles.

Por último, ¿cómo se establece la correspondencia entre las estrategias y los pagos? En primer lugar, observamos que cada jugador tiene un conjunto de estrategias $S_i$ y luego formar el producto cartesiano $S=S_1 \times S_2 \times ... \times S_n$ que caracteriza todas las combinaciones de estrategias posibles para todos los jugadores posibles. Entonces nuestro pago será $\pi:S\to\mathbb{R}^n$ . En nuestro ejemplo $\pi(LLLLL,LLLLLLLLLL) = (4,2)$ .