Fallo en el siguiente argumento con Opciones Binarias y Skew

Question

Una opción binaria es ATM y expira mañana. Si el sesgo de las opciones vainilla se empina (lado izquierdo hacia arriba, lado derecho hacia abajo) qué sucede con el precio de la opción binaria.

Sé que usando un argumento de replicación estamos llamando largo en $K_1$ Llame a la siguiente dirección $K_2$ , donde $K_1 < K_2$ . Por lo tanto, cuando la inclinación se empina el $K_1$ se encarece y la llamada a $K_2$ se vuelve menos costoso, por lo que el precio global es que la opción binaria aumentará de precio.

Sin embargo, tengo el argumento de que a medida que la inclinación se empina, el mercado está diciendo que espera que la volatilidad sea más alta a la baja (más posibilidad de expirar OTM) y más baja al alza (más cambio de expirar ITM). Esto significaría que la opción binaria se volvería menos costosa. ¿Cuál es el fallo de este argumento, ya que todo me parece lógico?

Answer 1

Dejemos que $f_0(S_T) =f(S_T|S_0)$ sea la FDP neutral al riesgo del precio del activo subyacente en el momento $T$ (condicionado al precio $S_0$ en la actualidad $t=0$ ). La probabilidad de que el precio esté por encima de un precio de ejercicio $K$ en el momento $T$ es

$$P(S_T \geqslant K) = \int_K^\infty f_0(x) \, dx.$$

Esto es sólo una definición, independientemente de la forma de la distribución (por ejemplo, simétrica, sesgada, etc.). Podría ser la distribución implícita en los precios conocidos de las opciones a $t= 0$ .

El precio de un vainilla opción de compra en $t=0$ que expira en el momento $T$ y con precio de ejercicio $K$ es el valor esperado neutral al riesgo descontado

$$C(K) = e^{-rT} \int_0^\infty\max(x-K,0) \, f_0(x) \, dx = e^{-rT} \int_K^\infty(x-K) \, f_0(x) \, dx.$$

Aquí hemos ignorado los dividendos y suprimido la dependencia del precio de la opción de otros parámetros en la escritura $C(K)$ .

Podemos aplicar la regla de Leibniz y diferenciar la integral una vez con respecto a $K$ para obtener

$$\frac{\partial C}{\partial K} = -e^{-rT}\int_K^\infty f_0(x) \, dx \\ \implies P(S_T \geqslant K) = - e^{-rT}\frac{\partial C}{\partial K}$$

En presencia de un sesgo de la volatilidad implícita, la distribución subyacente no es lognormal. Sin embargo, podemos representar el precio de la opción como una composición de la fórmula Black-Scholes con una volatilidad implícita (suave) en función del strike:

$$C(K) = C_{BS}(K,\sigma(K)).$$

Por lo tanto,

$$P(S_T \geqslant K) = -e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial K} - e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial \sigma}\sigma'(K) \tag{*}$$

Normalmente, para un índice de renta variable, el sesgo presenta una pendiente negativa, $\sigma'(K) < 0$ y vega, la derivada parcial de $C_{BS}$ con respecto a $\sigma$ es positivo.

Todo lo demás es igual, $P(S_T \geqslant K)$ aumenta a medida que $-\sigma'(K)$ aumenta, es decir, la inclinación se hace más pronunciada.

Como ha observado, la opción de compra binaria o digital $C_D$ se puede replicar aproximadamente con un diferencial de compra según

$$C_{D }(K) \approx \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta}.$$

A medida que la huelga se extiende $2\delta$ tiende a $0$ y la nocional $1/(2\delta)$ tiende a infinito, la réplica es más precisa (aunque poco práctica) y

$$C_D(K) = \lim_{\delta \to 0} \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta} = - \frac{\partial C}{\partial K}.$$

Esto, por supuesto, muestra que el precio de la opción digital en sí está directamente relacionado con la probabilidad de que el subyacente termine por encima del strike al vencimiento.

Answer 2

He aquí una explicación intuitiva: se concluye que hay más posibilidades de que caduque otm que itm si hay skew pero eso no es correcto. La volatilidad de atm no cambia frente al caso de flat vol, y atm es el punto de partida (tú eres la acción).

Una vez que se ha movido de ahí (ATM), o bien está en la parte baja donde el vol es (sólo ahora) más alto y el pago es 0 (OTM), o está en la parte alta donde el vol es (sólo ahora) más bajo y el pago es 1 (ITM).

En el primer caso (OTM), una mayor volatilidad es buena porque no quieres quedarte aquí y quieres tener la oportunidad de moverte a ITM. En el segundo caso (ITM) una volatilidad más baja es buena porque quieres quedarte aquí y no moverte a OTM. El resultado neto es una situación más favorable que si te mantuvieras moviéndote al vol ATM en todas las situaciones.

La inclinación hace que sea más probable que la vol. plana se mueva lejos de la atm hacia abajo y menos probable que se mueva lejos hacia arriba, pero hace que sea más probable que se mueva hacia arriba y se mantenga en la vecindad inmediata de la atm.