Dejemos que $f_0(S_T) =f(S_T|S_0)$ sea la FDP neutral al riesgo del precio del activo subyacente en el momento $T$ (condicionado al precio $S_0$ en la actualidad $t=0$ ). La probabilidad de que el precio esté por encima de un precio de ejercicio $K$ en el momento $T$ es
$$P(S_T \geqslant K) = \int_K^\infty f_0(x) \, dx.$$
Esto es sólo una definición, independientemente de la forma de la distribución (por ejemplo, simétrica, sesgada, etc.). Podría ser la distribución implícita en los precios conocidos de las opciones a $t= 0$ .
El precio de un vainilla opción de compra en $t=0$ que expira en el momento $T$ y con precio de ejercicio $K$ es el valor esperado neutral al riesgo descontado
$$C(K) = e^{-rT} \int_0^\infty\max(x-K,0) \, f_0(x) \, dx = e^{-rT} \int_K^\infty(x-K) \, f_0(x) \, dx. $$
Aquí hemos ignorado los dividendos y suprimido la dependencia del precio de la opción de otros parámetros en la escritura $C(K)$ .
Podemos aplicar la regla de Leibniz y diferenciar la integral una vez con respecto a $K$ para obtener
$$\frac{\partial C}{\partial K} = -e^{-rT}\int_K^\infty f_0(x) \, dx \\ \implies P(S_T \geqslant K) = - e^{-rT}\frac{\partial C}{\partial K}$$
En presencia de un sesgo de la volatilidad implícita, la distribución subyacente no es lognormal. Sin embargo, podemos representar el precio de la opción como una composición de la fórmula Black-Scholes con una volatilidad implícita (suave) en función del strike:
$$C(K) = C_{BS}(K,\sigma(K)).$$
Por lo tanto,
$$P(S_T \geqslant K) = -e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial K} - e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial \sigma}\sigma'(K) \tag{*} $$
Normalmente, para un índice de renta variable, el sesgo presenta una pendiente negativa, $\sigma'(K) < 0$ y vega, la derivada parcial de $C_{BS}$ con respecto a $\sigma$ es positivo.
Todo lo demás es igual, $P(S_T \geqslant K)$ aumenta a medida que $-\sigma'(K)$ aumenta, es decir, la inclinación se hace más pronunciada.
Como ha observado, la opción de compra binaria o digital $C_D$ se puede replicar aproximadamente con un diferencial de compra según
$$C_{D }(K) \approx \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta}.$$
A medida que la huelga se extiende $2\delta$ tiende a $0$ y la nocional $1/(2\delta) $ tiende a infinito, la réplica es más precisa (aunque poco práctica) y
$$C_D(K) = \lim_{\delta \to 0} \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta} = - \frac{\partial C}{\partial K}.$$
Esto, por supuesto, muestra que el precio de la opción digital en sí está directamente relacionado con la probabilidad de que el subyacente termine por encima del strike al vencimiento.
