Cómo intuit necesaria de optimalidad conidtion que implican la tasa de crecimiento del multiplicador de Lagrange en el modelo de crecimiento de Ramsey?

Question

Me encontré con una necesaria de optimalidad conidtion que implican la tasa de crecimiento del multiplicador de Lagrange en esta nota sobre el modelo de Ramsey

$$\frac{\dot \lambda}{\lambda} = \mathcal {v} - (f^\prime(k)-\delta\xi)$$

en que $\mathcal {v}$ es la tasa de preferencia temporal, $\xi$ es la tasa de crecimiento de población, y $\delta$ es la tasa de depreciación.

Hay alguna manera de hacer sentido de ella en una manera similar como el de Euler, ecuación?

Answer 1

El multiplicador es igual a la utilidad marginal del consumo. En caso de utilidad CRRA (es decir, $\lambda_t = c_t^{-\gamma}$), su tasa de crecimiento se relaciona con el crecimiento del consumo:

$$ \frac{\dot \lambda}{\lambda} = \frac{\mathrm{d} \log \lambda}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} (-\gamma \log c)}{\mathrm{d} t} = -\gamma \frac{\dot c}{c} $$

La condición se puede escribir como

$$ \frac{\dot c}{c} = \frac{1}{\gamma} \left[ (f'(k) - \delta \xi) - \nu\derecho], $$ de modo que el índice de crecimiento del consumo es proporcional a la rentabilidad sobre el capital (menos la tasa de preferencia temporal), que es prácticamente el mismo que el de Euler, ecuación en tiempo discreto.