CIR modelo: es la tasa que realmente no central $\chi^2$ distribuido?

Question

Probablemente pregunta simple. Considerar el CIR (1985) modelo para las tasas de interés $$dr = k(\theta - r)dt + \sigma \sqrt{r}dz$$ Entonces se la conoce en la forma cerrada de la condicional pdf $f(r(s) s|r(t),t)$ ($s \geq t$) $$f(r(s) s|r(t),t) = ce^{-u-v}\left(\frac{v}{u}\derecho)^{q/2}I_{q}(2\sqrt{uv})$$ donde $$\begin{ecuación} \begin{aligned} c &=\frac{2k}{\sigma^{2}\left(1-e^{-k(s-t)}\right)}\\ u &=cr(t)e^{-k(s-t)}\\ v &=cr(s)\\ q &=\frac{2k\theta}{\sigma^2}-1 \end{aligned} \end{ecuación}$$ y $I_{q}(\cdot)$ es una función Bessel modificada de primera clase de orden $p$.

A continuación, los autores de estado:

<< La función de distribución no es la central de chi-cuadrado $\chi^2[2 c r(s); 2q + 2, 2u]$, con $2t+2$ grados de libertad y parámetro de no centralidad $2u$ proporcional a la corriente tipo de cambio spot. >>

Entonces mis preguntas:

1) ¿Es correcto decir que lo que es (condicionalmente en $r(t)$) no central $\chi^2$ distribuido es la variable $2cr(s)$?

Yo puedo responder por mi cuenta, a esta pregunta: Puesto que la esperanza condicional $E(r(s)|r(t))$ y variación $Var(r(s)|r(t))$ se proporciona en el documento (Eq. 19), es'easy para comprobar la validez de 1) verificar que: $$\begin{ecuación} \begin{aligned} (2t+2) + (2u) &= E(2cr(s)|r(t)) = 2c E(r(s)|r(t))\\ 2[(2t+2) + 2(2u)] &= Var(2cr(s)|r(t)) = 4c^2Var(r(s)|r(t)) \end{aligned} \end{ecuación}$$ donde l.h.s. de ambas ecuaciones son expresiones de los dos primeros momentos de un no-central $\chi^2$ variable con $2t+2$ y parámetro de no centralidad $2u$ (es posible que desee comprobar Wikipedia).

2) Si 1), que es la distribución condicional de $r(s)$ solo? Es que todavía no central $\chi^2$?

Quiero ser muy claro: sabemos que $2cr(s) \stackrel{|r(t)}{\sim} \chi^2(2t+2,2 u)$. Por otra parte, sabemos que en la forma cerrada de la (condicional en $r(t)$) pdf de $r(s)$ (la $f(r(s) s|r(t),t)$ arriba)... pero entonces, es de $r(s)$ a CONOCIDO variable aleatoria ($|r(t)$)? En particular, es que todavía no cenral $\chi^2$ distribuido? (*)

Gracias por su atención

(*) Me temo $r(s)$ no puede ser no-central $\chi^2$ ya que esto implicaría que la no-central $\chi^2$ estaría cerca de w.r.t. el escalado de la variable, y - no estoy seguro - este no debería ser el caso.

Answer 1

Para responder a esta resumir un párrafo de "modelos de tipos de Interés - Una Introducción", por A. Cairns: Para $i=1,\ldots,d$ considerar la OU-procesos $$dX^i_t = -\frac 12 \alpha X^i_t dt + \sqrt{\alpha} dW^i_t.$$ Mirando el cuadrado de la radio $R_t = \sum_{i=1}^d (X^i_t)^2$ (en $\mathbb{R}^d$) de este proceso obtenemos por Ito: $$dR_t = \sum_{i=1}^d (2 X^i_t dX^i_t) + d \alpha dt.$$ Utilizando la definición de $R_t$ la introducción de un nuevo movimiento Browniano $B_t$ obtenemos en la distribución que $$dR_t = \alpha (d - R_t) dt + \sqrt{4 \alpha R_t} dB_t.$$ La definición de $r_t = R_t/\theta$ con $\theta = 4\alpha/\sigma^2$ este es el modelo CIR. Esto le da una buena interpretación geométrica. Soy consciente de que no todos los detalles están cubiertos aquí.

Recordemos la definición de la no central de la chi-cuadrado de distribución. Vamos $$R = \sum_{i=1}^d (W_i + \delta_i)^2$$ y $\lambda = \sum_{i=1}^d \delta_i^2$, entonces $R$ tiene un no-central de chi-cuadrado de distribución con $d$ grados de libertad y parámetro no-centralidad de $\lambda$.

Desde el $X_i^t$ por encima de todo de una distribución normal con varianza $1 - e^{-\alpha t}$, vemos que $R_t/(1 - e^{-\alpha t})$ ha no-central de chi-cuadrado de distribución. Finalmente, tenemos que por $d = 4 \alpha \mu/\sigma^2$ que $4 \alpha r_t/(\sigma^2 (1 - e^{-\alpha t}))$ tiene un no-central de chi-cuadrado de distribución con $d$ grados de libertad y parámetro no-centralidad de $\lambda = 4 \alpha r_0/(\sigma^2 (1 - e^{-\alpha t}))$.

Condicionalmente en $r_t$ reemplazar $r_0$ por $r_t$.

Las respuestas, a continuación, son: i) Sí, la variable que tiene la no-central de la distribución chi-squared es el complicado expresión que usted menciona.

ii) Sólo que esta complicado de expresión es no-central de chi-cuadrado distribuidos - $r_s$ sí no lo es. Como se puede ver en el enlace de la no-central de chi-cuadrado de distribución se refiere a la estandarización de Gaussianas (la varianza es igual a 1). Tal vez la Generalizada chi-cuadrado de distribución podría ser de ayuda. Pero yo no sé de esto.