¿Cómo demostrar que el precio de la opción asiática bajo el promedio geométrico es más barato que el de la opción europea?

Question

Esta era una pregunta de examen en la Universidad de Cambridge.

Dejemos que $S_t = S_0 \exp \left(\sigma W_t + (r-\dfrac{1}{2}\sigma^2) \right)$ y una cuenta bancaria devuelve un tipo de interés compuesto continuamente $r$ . Considere la derivada que paga

$Y = (\exp(T^{-1}\int^T_0\log(S_u)\text{d}u) - K)^+$ en el momento T.

Cuál es el precio a tiempo 0 de este derivado, y demuestre que es menor que el precio de una call europea.

El precio de esto, si no me equivoco, es

$S_0\exp(-\dfrac{1}{2}(r+\sigma^2/6)T) N(d_2) - Ke^{-rT}F(-d_1)$

donde $d_1 = \log(K/S_0-1/2(r-\sigma^2)T)/(\sigma\sqrt{T/3})$ y $d_2 = -d_1+\sigma\sqrt{T/3}$ .

No veo cómo esto es menos que la convocatoria europea.

Answer 1

• en primer lugar - se puede encontrar una nota agradable y corta para el cálculo aquí .

• segundo: ¿qué quieren decir con más barato? La retribución es diferente, así que qué podemos comparar. El único significado es que si la acción tiene una volatilidad implícita de $\sigma$ entonces la opción asiática muestreada continuamente tiene un vol implícito de $\sigma/3$ (compruebe su $d_1$ hay algo mal en el numerador). Por lo tanto, podemos decir que, dado el mismo dinero, la opción asiática se parece a una opción europea estándar, pero con un tercio de su vol. implícito, por lo que la asiática es más barata.

Otra referencia Teoría de la fijación de precios de las opciones asiáticas de muestreo continuo .