Teorema de la envolvente en Hopkins y Kornienko (2010)

Question

Este dato procede de Hopkins y Kornienko (2010). En este modelo, $x$ son las inversiones, $s$ es el estado, y $y=z-x$ es ocio, donde $z$ son las dotaciones. $x(r)$ es la inversión óptima, y las inversiones relativas determinan la situación en el modelo. Aquí caracterizan al agente con el rango, $r$ y obtener la forma reducida de la utilidad. Pero no estoy muy seguro de cómo funciona aquí el teorema de la envolvente.

Si diferencio $U(r)$ con respecto a $r$ y suprimir los argumentos, tengo que $$U_x x' + U_y(y'-x') + U_s s'.$$ Sé que $Z'(r) = \frac{1}{g(Z(r))}$ donde $g$ es la densidad de $z$ . Esto implica que el primer término y el tercer término y $U_yx'$ resultan ser cero para que la ecuación anterior sea igual a la ecuación (8). A mi entender $U_x = U_s = 0$ desde $x(r)$ es la inversión óptima. Pero, no sé cómo explicar la eliminación de $U_yx'$ . ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

A partir de la condición de primer orden para la optimalidad, sabemos que (ecuación (4) en el documento):

$$U_x(x,Z(r)-x,S(r))x'(r) - U_y(x,Z(r)-x,S(r))x'(r) + U_s(x,Z(r)-x,S(r))S'(r)=0.$$

Al diferenciar ${\bf U}(r)$ con respecto a $r$ encontramos su expresión: $$U_x(x(r),Z(r)-x(r),S(r))x'(r) + U_y(x(r),Z(r)-x(r),S(r))(Z'(r)-x'(r)) + U_s(x(r),Z(r)-x(r),S(r))S'(r).$$

Sustituyendo la primera ecuación por la última se obtiene $${\bf U}'(r)=U_y(x(r),Z(r)-x(r),S(r))Z'(r).$$

Ahora, $Z'(r)=1/g(Z(r))$ lo que da la ecuación (8).