preguntaba si alguien podría verificar mi respuesta para una pregunta de la tarea!
Dado un straddle, que se caracteriza por su pay-off en la madurez $X=|S(T)-K|$, me pide para encontrar el precio de la (simple) de reclamar en cualquier tiempo $t\in [0,T]$. Comenzando en $$V(t)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E_Q}[|S(T)-K||\mathcal{F}_t]$$ con $S(t)=S_0\exp{((r-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W^\mathbb{Q}(t))}$, que finalmente terminan con el valor proceso: $$V(t)=2S(t)\Phi(d_1)-2Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)-S(t)+Ke^{-r(T-t)}$$ donde $$d_1=\frac{\ln(S(t)/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T t}},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt{T t}$$
Ahora, se sugiere que existe una constante de cobertura de la cartera de esta afirmación. El portafolio se compone no sólo de las acciones y los bonos, pero también contiene opciones call Europeas. Es decir, deseo encontrar una cartera con el valor de proceso $\hat{V}(t)=x_tS(t)+y_tB(t)+z_tC(t)$, donde $(x_t,y_t,z_t)$ se mantiene constante por $t\in[0,T]$. Mi instinto me dice que $(x_t,y_t,z_t)=(-1,Ke^{rT},2)$ como el valor de proceso de la demanda puede ser escrita como: $$V(t)=Ke^{-r(T-t)}-S(t)+2C(t)$$ con $C(t)$ el precio de una opción call (por la fórmula Black-Scholes). Puedo "semi-justificar" esta por definir $V(t)=v(t,x)+2C(t)$ con $v(t,x)=Ke^{-r(T-t)}-x$, de modo que $v$ satisface la Black-Scholes ecuación diferencial parcial y por lo tanto de la cartera con $$x_t=v_x(t,S(t))=-1, \qquad y_t=e^{rt}(v(t,S(t))-x_tS(t))=Ke^{rT}$$ coberturas de la demanda $K-S(t)$. A continuación, acabo de agregar $2C(t)$ a tanto el valor del proceso de la cartera y $v(t,S(t))$.
Así! Mis dos preguntas son:
- He calculado el valor de proceso $V(t)$ para la reclamación correctamente?
- He correctamente justificada la cobertura de cartera para la reclamación?
Gracias de antemano!
