Deje que ${\mathcal{F}} = 2^{\Omega}$ y dejar que $\mathcal{G} =\left\{ \Omega \emptyset, \{1\}, \{2,3\} \derecho\}$. Ambos son de sigma-álgebras de subconjuntos de $\Omega$.
El libro en cuestión es confuso, ya que la forma en que usted ha escrito $P(a) = \sum_{\omega\en L} (\omega)Q(\omega)$ hace que parezca que $P$ es una asignación de $\Omega$, pero la probabilidad de medidas son las asignaciones de sigma-álgebras, no el espacio muestral propia. Para cambiar entre continuo y discreto hace que las cosas más confusas en mi opinión, ya que se trata de una Integral de Lebesgue y el otro es una parte normal de la recapitulación.
Así, en el caso de ${\mathcal{F}} = 2^{\Omega}$, ya que cada $\omega \en \Omega$ un $F \in \mathcal{F}$, entonces la expresión que escribió funciona bien. Es por eso que podemos escribir la $L^{\mathcal{F}}(\omega ) = \frac{P(\omega)}{Q(\omega)}$ expresiones y evaluar ellos como de costumbre. Y podemos ver que, desde $\mathcal{F}$ es el poder establecer de $\Omega$, sabemos exactamente que $\omega \en \Omega$ se produce si sabemos que establece en $\mathcal{F}$ ocurrir o no ocurrir. Así que $L^{\mathcal{F}}$ es medible con respecto a $\mathcal{F}$.
En el caso de $L^{\mathcal{G}}$, el único establece en $\mathcal{G}$ son $\left\{ \Omega \emptyset, \{1\}, \{2,3\} \derecho\}$, así que, dado que el conocimiento de si aquellos que se producen necesitamos para ser capaz de calcular $L^{\mathcal{G}}(\omega)$. Así que ahora suponiendo que la probabilidad de espacio está equipado con sigma-álgebra de $\mathcal{G}$, sólo podemos calcular P $(A)$ & $P(A)$ para $A \in \left\{ \Omega \emptyset, \{1\}, \{2,3\} \derecho\}$.
Así
\begin{ecuación}
P(\{2,3\}) = \frac{3}{4} = \int_{\{2,3\} L}^{\mathcal{G}}(\omega)dQ(\omega) = \int_{\Omega}1_{\{2,3\}}(\omega)L^{\mathcal{G}}(\omega)dQ(\omega)
\end{ecuación} e imaginar que $L^{\mathcal{G}}(\omega)$ es una función simple, se puede escribir como $L^{\mathcal{G}}(\omega) = L^{\mathcal{G}}(1)1_{\{1\}}(\omega) + L^{\mathcal{G}}(2)1_{\{2\}}(\omega) + L^{\mathcal{G}}(3)1_{\{3\}}(\omega)$ y así, la definición de $S_k = \{\omega |L^{\mathcal{G}}(\omega) = L^{\mathcal{G}}(k)\}$
\begin{ecuación}
\int_{\Omega}1_{\{2,3\}}(\omega)L^{\mathcal{G}}(\omega)dQ(\omega) = \sum_{k = {1,2,3} L}^{\mathcal{G}}(k)Q(\{2,3\} \cap S_k)\\
= L^{\mathcal{G}}(1)Q(\emptyset) + L^{\mathcal{G}}(2)P({2}) + L^{\mathcal{G}}(3)P({3})
\end{ecuación}
Así que ahora tenemos que ver el tema de la $Q$ se define únicamente en $\left\{ \Omega \emptyset, \{1\}, \{2,3\} \derecho\}$. Así que el único camino para la expresión de sentido y por lo tanto la igualdad de $P(\{2,3\}) = \frac{3}{4}$, lo que necesitamos para $L^{\mathcal{G}}(\omega)$ como una función simple que se puede escribir así: $L^{\mathcal{G}}(\omega) = L^{\mathcal{G}}(1)1_{\{1\}}(\omega) + L^{\mathcal{G}}(2)1_{\{2,3\}}(\omega) = L^{\mathcal{G}}(1)1_{\{1\}}(\omega) + L^{\mathcal{G}}(3)1_{\{2,3\}}(\omega)$, ya que entonces tendríamos:
\begin{ecuación}
\int_{\Omega}1_{\{2,3\}}(\omega)L^{\mathcal{G}}(\omega)dQ(\omega) = \sum_{k = {1,2} L}^{\mathcal{G}}(k)Q(\{2,3\} \cap S_k)\\
= L^{\mathcal{G}}(1)Q(\emptyset) + L^{\mathcal{G}}(2)Q(\{2,3\})
\end{ecuación}
que es una expresión válida.
Así que, finalmente, $\frac{3}{4} = L^{\mathcal{G}}(2)Q(\{2,3\}) = L^{\mathcal{G}}(2) \frac{2}{3} $, entonces $L^{\mathcal{G}}(2) = L^{\mathcal{G}}(3) = \frac{9}{8}$
Así que el libro, y esta respuesta es, básicamente, una larga, complicada manera de decir que, desde $L^{\mathcal{G}}(\omega)$ debe $\mathcal{G}$-medible, entonces la única manera de calcular $L^{\mathcal{G}}(2)$ y $L^{\mathcal{G}}(3)$ con sólo el conocimiento de si se establece en $\left\{ \Omega \emptyset, \{1\}, \{2,3\} \derecho\}$ ocurrir, es que si $L^{\mathcal{G}}(2) = L^{\mathcal{G}}(3)$. Esto es debido a que cuando $\{2,3\}$ se produce, no sabemos cuál de $de$2 o $3$ se produce, sólo que uno de ellos hace. Así que la única manera de saber $L^{\mathcal{G}}(2)$ y $L^{\mathcal{G}}(3)$ es si son iguales. Entonces podemos decir que cuando $\{2,3\}$ produce $L^{\mathcal{G}}(\omega \in \{2,3\}) = L^{\mathcal{G}}(2) = L^{\mathcal{G}}(3)$
