Cómo fijar el precio de esta opción sin utilizar el marco BS

Question

Tenemos una acción a precio de 1 dólar que no paga dividendos. También suponemos un tipo de interés cero. Cuando el precio alcanza $H$ dólares por primera vez donde $H>1$ podemos ejercer la opción y recibir 1 dólar. ¿Cuál es el precio de la opción?

Puedo fijar el precio de esta opción asumiendo que el precio de la acción sigue un movimiento geométrico browniano bajo una medida neutral al riesgo, lo que me da el precio como $\frac{1}{H}$ . Tengo curiosidad por saber si podemos fijar el precio de esta opción sin este supuesto, utilizando únicamente el principio de no arbitraje.

Answer 1

La dinámica del proceso bursátil subyacente es obviamente crucial para el precio del derivado. Por lo tanto, si no se asume necesariamente $S_t$ que se distribuya con normalidad logarítmica (modelo B&S) no obtendrá el mismo precio aunque el mercado esté libre de arbitraje.

Ejemplo: Supongamos que $S_t=C$ $ \forall t \in \mathbb{R}^+$ y $r=0$ . Así, $S_t$ es constante y el tipo de interés es igual a cero. En esta situación $S_t$ será una martingala bajo el numerario de la cuenta bancaria. Para ser más precisos $$E\left[e^{-\int^t_0 r_s ds}S_t |\mathcal{F}_u\right]=E\left[e^{-\int^t_0 0 ds}C|\mathcal{F}_u\right]=C$$ . Ahora con $S_t$ ser contante esto significa $$E\left[e^{-\int^t_0 r_s ds}S_t |\mathcal{F}_u\right]=S_u$$ Según el primer teorema fundamental de la fijación de precios de los activos, nuestro mercado está libre de arbitraje.

Supongamos ahora que estamos fijando el precio del instrumento descrito en su pregunta. Y supongamos que $H>C$ . Obviamente su precio es cero. para el proceso es constante y nunca alcanzará el "tope" $H$