Distribución de los retornos simples vs. los logreturnos

Question

Entiendo que los precios de las acciones están modelados condicionalmente usando una distribución normal logarítmica por la relación

$ y_t/y_{t−1}∼logN(μ_{daily},σ^2_{daily})$

$y_t∼logN(log(y_{t-1})+μ_{daily},σ^2_{daily}))$

lo que implica

$log(y_t)∼N(log(y_{t−1})+μ_{daily},σ^2_{daily})$ entonces $ \frac {y_t−y_{t−1}}{y_{t−1}}≈log(y_t)−log(y_{t−1})∼N(μ_{daily},σ^2_{daily})$ .... ecuación(1)

De acuerdo con la ecuación anterior(1), los retornos pueden ser aproximados con una distribución normal (por ahora, IGNORAREMOS acerca de la COLA GRASA y otros problemas).

Pero el retorno simple se define por -1 < $R_t$ < ∞, ya que el precio es siempre > 0

es decir, el valor mínimo de un retorno simple se limita a -100% (cuando $y_t$ se convierte en cero y por lo tanto $ \frac {y_t−y_{t−1}}{y_{t−1}}$ se convierte en -1)

Esto significa que la función de densidad de probabilidad del retorno simple $R_t$ nunca puede ser simétrica, lo que contradice la ecuación anterior (1), ya que la distribución normal es simétrica.

Por favor, guíame en lo que me falta aquí. Está claro que estoy lógicamente equivocado en algún lugar, pero no soy capaz de averiguar

Answer 1

Te falta decir que la normalidad y la log-normalidad de los rendimientos y los precios son supuestos simplificadores. Si examinamos el sesgo y la curtosis, es aún más obvio que son suposiciones.

Su ejemplo de que la rentabilidad que va a -100, pero supera +100 desafía el supuesto de normalidad es una trivialidad, sobre todo teniendo en cuenta que ya hemos establecido que las rentabilidades no son perfectamente normales. Para la inmensa mayoría de las circunstancias, es suficiente.

Answer 2

Empecemos con una definición.

Definición Una estadística es cualquier función de los datos.

Las devoluciones son calculado como $$\text{Return}=\frac{\text{Future Value}}{\text{Present Value}}-1=R_t.$$

$$\text{Present Value}=\text{Price}_t\times\text{Quantity}_t=p_tq_t.$$ $$\text{Future Value}=\text{Price}_{t+1}\times\text{Quantity}_{t+1}=p_{t+1}q_{t+1}.$$

Así que $$R(p_t,p_{t+1},q_t,q_{t+1})=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}$$

Así pues, la rentabilidad es función de los precios y las cantidades. Como tal, hay que deducir la distribución y no suponerla. Se trata de una estadística como la distribución t de Student o la distribución F. Afortunadamente, la solución a este problema se conoce desde 1941 en el campo de la estadística.

Si asume $q_t=q_{t+1}$ , $p_t>0$ y $p_{t+1}>0,$ entonces se obtiene una distribución truncada. Tienes razón, la distribución normal no puede ser la distribución de los rendimientos. No te has perdido nada.

Utilizando la teoría de las subastas y suponiendo que no hay efectos de los dividendos, como la liquidación de dividendos; no hay fusiones; quiebra o efectos de los costes de liquidez, entonces la distribución de los rendimientos de las acciones debe ser $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$

Dado que existen fusiones, quiebras, dividendos y costes de liquidez, la distribución real es una distribución mixta complicada. Del mismo modo, otras estructuras de subasta, como las subastas de estilo inglés, dan lugar a una distribución diferente, y diferentes estructuras de pago, como las de bonos, dan lugar a una distribución diferente.

En finanzas, hay que trasladar el centro de situación al equilibrio, de modo que $(0,0)$ está en $p_t^*,p^*_{t+1}$ .

El método general para calcular una distribución de proporciones es el siguiente.

Si $Z=\frac{Y}{X}$ entonces la función de distribución acumulativa de $z$ est $D(z)=\Pr(Z\le{z}).$

La función de densidad de $Z$ cuando las variables tienen soporte en toda la recta de los números reales, acaba siendo $$p(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x.$$

En sólo Una posible forma de que los rendimientos de los valores de renta variable sigan una distribución normal o log-normal es suponer que los precios y las cantidades no existen. Por supuesto, eso los convertiría en certificados de depósito. Si se elimina el seguro gubernamental, como era de esperar, pueden modelarse con una distribución normal o log-normal porque la quiebra implica un estado en el que puede no producirse ningún pago.

Curtiss, J. H. (1941). On the distribution of the quotient of two chance azar. Anales de Estadística Matemática, 12:409-421.

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Marsaglia, G. (1965). Razones de variables normales y razones de sumas de variables uniformes. uniformes. Journal of the American Statistical Association, 60(309):193-204.