Comportamiento de la volatilidad implícita a corto plazo

Question

Existen varias expansiones perturbadoras en la literatura de derivados sobre el comportamiento de la volatilidad implícita a corto plazo. Cuando se trata de la volatilidad implícita en modelos de volatilidad estocástica (local), ¿qué expansión se considera el "estándar de oro" hoy en día? Es decir, una expansión que sea lo más robusta / general posible para los modelos de (L)SV.

Me interesa en particular el comportamiento de $$ \frac{\partial^2 \Sigma}{ \partial S \partial \sigma} $$ donde $\Sigma$ es la volatilidad implícita, $\sigma$ es la vol instantánea estocástica y $S$ el activo/índice. En concreto, me pregunto para qué modelos (L)SV puedo suponer que el término cruzado anterior es aproximadamente cero o incluso exactamente cero para el tiempo de vencimiento corto. ¿Y qué hay del tiempo de vencimiento no evanescente?

Gracias.

Answer 1

Antes de considerar el término "modelo", debemos clasificar los tipos de modelos $\dfrac{\partial^2 \Sigma}{\partial S \partial \sigma}$ . Sólo consideraré los modelos de volatilidad local y los modelos de volatilidad estocástica.

Modelos de volatilidad local

La función de volatilidad local es, por supuesto,

$\sigma^2(K,T)=2 \dfrac{\partial_T C_{KT}}{\partial_{K}^2 C_{KT}}$

Esto puede expresarse como una función de la volatilidad implícita $\Sigma$ ,

$$ \sigma^2(K,T) = \dfrac{ 2 \partial_{\tau} \Sigma + \Sigma/\tau }{ K^2 \left[ \partial_K^2 \Sigma - z_1 \cdot \sqrt{\tau} \cdot \left[ \partial_K \Sigma \right]^2 + \left[ 1 / \Sigma \right] \right] \left[ 1/ \left( K \sqrt{\tau} \right) + z_1 \cdot \partial_K \Sigma \right]^2} $$

donde $\tau=T-t$ y $z_1 = \log(S/K)/(\Sigma \sqrt{\tau}) + (1/2) \Sigma \sqrt{\tau}$ .

Como $\tau \rightarrow 0$ es decir, el caso de vencimiento corto, obtenemos

$$ \sigma(K) = \dfrac{\Sigma}{1 + \left[ K/ \Sigma \right] \cdot \log(S/K) \cdot \dfrac{d \Sigma}{d K} } $$

Para calcular el plazo $\dfrac{d \Sigma}{d \sigma}$ , fíjese que $\dfrac{d \Sigma}{d \sigma} = \dfrac{1}{\dfrac{d \sigma}{d \Sigma}}$ . Igualmente para $\dfrac{d \Sigma}{d S}$ y en adelante para $\dfrac{\partial^2 \Sigma}{\partial S \partial \sigma}$ .

Se puede especificar una forma funcional simple para $\Sigma(K)$ es decir, algo así como $\Sigma(K):=a \cdot e^{-bK+c}$ Por lo tanto, le permite calcular la cantidad que le interesa.

Modelos de volatilidad estocástica

Hay que tener cuidado aquí porque hay modelos de mercado (para la volatilidad estocástica) y modelos de volatilidad estocástica. Parecen lo mismo pero no lo son: un modelo de volatilidad estocástica no modelará la volatilidad implícita, pero (obviamente) modelará la volatilidad estocástica. Un modelo de mercado modelará la volatilidad implícita.

Ejemplo de modelo de volatilidad estocástica: Modelo SABR

Ejemplo de modelo de mercado: Modelo de Schonbucher

Hay documentos (Managing Smile Risk paper para el modelo SABR, el documento de Schonbucher de 1999 para el modelo de Schonbucher) que estarán (muy probablemente) desactualizados - pero le darán una buena intuición sobre cómo calcular el término de vanna para un modelo de volatilidad estocástica.

Los últimos documentos sobre expansiones de perturbación serán de dominio público y, obviamente, no serán públicos. Los dos documentos que he mencionado proporcionan expresiones analíticas para la volatilidad implícita $\Sigma$ en función de todos los parámetros relevantes. Ajuste $\tau=0$ o tomar el límite $\lim_\limits{\tau \rightarrow 0} \Sigma(\tau,\ldots)$ para las expresiones dadas en esos documentos (y luego calcular el término de vanna) debería darte la respuesta que buscas.