Ecuación matemática que relaciona $\frac{dV}{dS}$ a $\frac{dV}{dK}$

Question

Por favor, ayúdenme a averiguar cuál es la relación matemática entre $\frac{dV}{dS}$ (Delta) y $\frac{dV}{dK}$ ( $K$ =huelga), teniendo en cuenta la inclinación del vol.

Lo pregunto porque quiero averiguar el valor de un digital en un determinado strike, dado que conozco la delta de la opción vainilla allí, y además tengo la sonrisa de la volatilidad.

Sé que existe la ecuación: $$ \frac{d V}{d S} = \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial S} , $$ así que supongo que hay algo similar para lo que necesito.

Según recuerdo, $dV/dK = N(d2)$ y $dV/dS = N(d1)$ (ignorando los dividendos y las tasas libres de riesgo), por lo que sólo necesito alguna aproximación simple que vincule $\frac{dV}{dS}$ y $\frac{dV}{dK}$ (aproximación si una relación exacta es demasiado complicada).

Answer 1

Si sus hipótesis de trabajo son tales que la dinámica del proceso de precios de los troncos $\ln(S_t)$ est espacio homogéneo En el caso de una opción europea vainilla, el precio es una función homogénea en el espacio de grado uno. Entonces puede apelar al teorema de Euler para obtener la relación que necesita.

Más concretamente, defina el precio en el momento $t$ de la opción que vence en $T$ y golpeó a $K$ como

$$ V = DF(t,T)\, \Bbb{E}_t^\Bbb{Q} \left[ (w(S_T - K))^+ \right] := V(S_t, K, T-t, \theta) $$ donde $\theta$ cifras los parámetros relevantes del modelo y $w=\pm1$ el factor de llamada/posición. Ahora, bajo el supuesto de homogeneidad espacial que acabamos de mencionar, se puede escribir que $$ V(xS_t,xK,T-t,\theta) = x V(S_t,K,T-t,\theta), \forall x \geq 0$$

Tomando la derivada con respecto a $x$ en ambos lados y luego poner $x=1$ da:

$$ \frac{\partial V}{\partial S} S + \frac{\partial V}{\partial K} K = V $$ por lo que $$ \frac{\partial V}{\partial K} = \frac{1}{K} \left( V - \frac{\partial V}{\partial S} S \right) $$

que es lo que está buscando.

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Y, en efecto, si se trata de una llamada digital ( $D$ más abajo), por ejemplo, utilizando la notación $C$ para denotar el precio de compra europeo \begin{align} D &= -\frac{dC}{dK} \\ &= -\left[ \frac{\partial C}{\partial K} + \frac{\partial C}{\partial \Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right] \\ &= -\left[ \frac{1}{K}\left( C - \Delta S\right) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right] \end{align} donde para un vencimiento $T$ y el nivel de huelga $K$ , $C$ es el precio de compra europeo correspondiente, $\Delta$ su BS Delta, $\nu$ su BS Vega y $\partial \Sigma/\partial K$ la inclinación del IV. Hemos pasado de la segunda línea a la tercera utilizando el resultado que acabamos de obtener.