¿Por qué es instantánea utilidad del periodo actual con descuento?

Question

Considere la posibilidad de un período de dos modelo de consumo.

Estoy confundido por el hecho de que en la condición óptima es la utilidad marginal de la época actual que es descontado, no la utilidad marginal del siguiente período.

Podría alguien darme una intuición detrás de este resultado?

A continuación, la derivación se presenta.

$$ \max_{c_{t},c_{t+1}}u_{t}\left(c_{t},c_{t+1}\right)$$

tal que

$$c_{t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}c_{t+1}=w_{t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}w_{t+1}$$

FOC: (MU denota marginal (aka instantáneo) utilidad)

$$\begin{casos} MU_{t}=\lambda\\ MU_{t+1}=\lambda\frac{1}{1+r_{t+1}}\\ c_{t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}c_{t+1}=w_{t}+\frac{1}{1+r_{t+1}}w_{t+1} \end{casos}\Rightarrow\frac{1}{1+r_{t+1}}MU_{t}=MU_{t+1}$$

Answer 1

Lo que se ve como $$ \frac{1}{1+r_{t+1}}MU_t = MU_{t+1} $$ también puede ser visto como $$ \frac{1}{1+r_{t+1}}MU_t = \frac{1}{1}MU_{t+1} $$ donde $1+r_{t+1}$ y $1$ son los precios respectivos de los actuales y futuros de dinero medido en dinero en el futuro. Así que, básicamente, lo que sucede es que calcular la cantidad de la utilidad de una unidad adicional de dinero en el futuro iba a comprar a usted en el presente y en el futuro período. En el óptimo, estas cantidades son iguales. También puede escribir la ecuación en la forma de la familiar de la SEÑORA condición: $$ \frac{MU_t}{MU_{t+1} } = \frac{1}{\frac{1}{1+r_{t+1}}}. $$

Answer 2

Es importante tener en cuenta que el OP utiliza una forma general de una función de utilidad, donde la utilidad no es necesariamente divisible por período. Pero en tal configuración general, $MU_t$ es no "utilidad marginal", pero sólo la derivada parcial de $u(c_t, c_{t+1})$, con respecto a $c_t$. "Utilidad Marginal" es un concepto adecuado para una uni-variable aleatoria función de utilidad.

Por lo que es más preciso para escribir la relación óptima como

$$\frac{1}{1+r_{t+1}}\frac {\partial u(c_t, c_{t+1})}{\partial c_t} = \frac {\partial u(c_t, c_{t+1})}{\partial c_{t+1}}$$

De hecho, parece que estamos "descontar" los efectos de las presentes, en lugar de la del futuro. Pero tal vez resulta más claro si vemos que no se como dividir el "presente" por un factor de descuento, sino más bien como multiplicando por el precio relativo entre el presente y el futuro:

Podemos "comprar" una unidad de consumo futuro, por el comercio de sólo $1/(1+r_{t+1})$ unidades de consumo de corriente (es decir, por el ahorro de $1/(1+r_{t+1})$ monto ahora y obtenga $1$ unidad de mañana). Así que por la multiplicación de los "efectos de las presentes en la utilidad por $[1/(1+r_{t+1})]$, lo expresamos en términos del futuro.