Cartera problema de elección de una CARA inversor con n activos de riesgo

Question

Ok, estoy trabajando en un problema que consiste en lo siguiente:

Estoy buscando solucionar la cartera de elección problema de optimización (maximización de la utilidad con una función de utilidad) en el caso de que todos los subyacentes a las variables aleatorias se multivariante normal.

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Problema:

definir $\phi$ como el monto invertido en cada uno de $n$ los activos de riesgo, de tal manera que la restricción presupuestaria es:

$\Sigma_{i=1}^{n}\phi_i=w_0$ para algunas inicial de la riqueza, $w_0$

Muestran que la cartera óptima es:

$\phi=\frac{1}{\alpha}\Sigma^{-1}\mu+[\frac{\alpha w_0-1'\Sigma^{-1}\mu}{\alpha 1'\Sigma^{-1}1}]\Sigma^{-1}1$

donde cada uno de los 1 es un $$n-dimensional vector columna de 1.

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Trabajo/Intento De

Ok, estas son las cosas que yo sé:

Estoy tratando con CARA de utilidad, lo que me da una función de utilidad de la forma:

$u(w)=-e^{-\alpha w}$ donde $w$ es mi aleatoria al final del período de la riqueza que creo que serán distribuidos de la

$w$~$N(\mu\sigma^2)$ con $\mu=\phi'\mu$ (un vector de retornos esperados escala por el monto invertido en cada uno), y $\sigma^2=\phi'\Sigma\phi$ donde $\Sigma$ es la matriz de covarianza de los $n$ los activos de riesgo.

Así que, para encontrar la utilidad esperada de esta función, utilice el hecho de que la expectativa de un aumento exponencial de las normales es la exponencial de la media más de la mitad de la varianza, para llegar a:

$E(u(w))=-e^{-\alpha\phi'\mu+\frac{\alpha^2\phi'\Sigma\phi}{2}}$

Factorización de un negativo alfa, y la equiparación de la parte restante de la exponencial como la certeza equivalente al azar de la riqueza (que no podría explicar muy bien, pero estoy casi seguro que este es el camino correcto), me puede maximizar la utilidad mediante la maximización de la utilidad de la certeza equivalente, que se realiza mediante la maximización de la certeza equivalente en sí.

Todo esto para decir, que necesito:

$\frac{\partial}{\partial\phi}\phi'\mu+\frac{\alpha\phi'\Sigma\phi}{2}=0$

A partir de ahí me parece que no puede conseguir nada ni remotamente cerca de el resultado que estoy supone que debe mostrar. Tengo

$1'\mu+\alpha\Sigma\phi=0$

que parece reflejar el primer término en el resultado, pero estoy perdido en cuanto a que el resto viene de.

Cualquier ayuda se agradece. No estoy seguro de si mi error es en el multi-dimensional en derivadas parciales, o si es en la obtención de la función que debe maximizarse. El libro que estoy usando tiene un problema similar para un solo activo arriesgado que me pueden trabajar bien, pero la exclusión de un activo libre de riesgos, (que parece simplificar la riqueza de restricción) hace más confuso para mí.

Answer 1

El problema es equivalente a la maximización de la

$$ \max_\phi \left( \phi '\mu - \frac{1}{2} \alpha \phi ' \Sigma \phi \derecho) $$

sujeto a

$$ \mathbf{1}' \phi = w_0. $$

(la negrita 1 es el vector columna de unos, " es por la transposición).

El lagrangiano es

$$ L(\phi \lambda) = \phi '\mu - \frac{1}{2} \alpha \phi ' \Sigma \phi - \lambda \left( \mathbf{1}' \phi - w_0 \derecho), $$

y su jacobiano wrt. $\phi$ es

$$ \mathrm{D}_\phi L(\phi \lambda) = \mu' - \alpha \phi ' \Sigma \lambda \mathbf{1}'. $$

De primer orden se requieren condiciones que el jacobiano es igual a cero (en cada elemento), además de la original de la restricción presupuestaria, que juntos (después de la transposición de la jacobiana) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales en $(\phi\lambda)$:

$$ \begin{split} \Sigma \phi + \mathbf{1} \lambda &= \frac{1}{\alpha}\mu \\ \mathbf{1}' \phi &= w_0 \end{split} $$

Podemos resolver por $\phi$ como una función de multiplicador de $\lambda$:

$$ \phi = \frac{1}{\alpha} \Sigma^{-1} \mu - \lambda \Sigma^{-1} \mathbf{1} $$

Conectando a la restricción presupuestaria, y algunos álgebra de los rendimientos de una expresión para $\lambda$:

$$ \lambda = \frac{\frac{1}{\alpha}\mathbf{1}' \Sigma^{-1} \mu - w_0}{\mathbf{1}' \Sigma^{-1} \mathbf{1}}, $$

y sustituyendo en la expresión para $\phi$ debe producir el resultado que se da en la pregunta.