Me gustaría que me ayuden a entender el concepto de la expansión de una estructura de información en la información incompleta juego en p.6-9 este papel.
Permítanme resumir el juego como se describe en el papel.
Hay $N\in \mathbb{N}$ jugadores, con $i$ denota un genérico jugador.
Hay un conjunto finito de estados $\Theta$, con $\theta$ denota un estado genérico.
Un juego básico $G$ se compone de
para cada jugador i $$, un conjunto finito de acciones $A_i$, donde escribimos $A\equiv A_1\times A_2\times ... \times A_N$, y una función de utilidad de $u_i: A\times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$.
un soporte completo antes de $\psi\en \Delta(\Theta)$.
Una estructura de información $S$ se compone de
para cada jugador i $$, un conjunto finito de señales de $T_i$, donde escribimos $T\equiv T_1\times T_2\times ... \times T_N$.
una distribución de señales de $\pi: \Theta \rightarrow \Delta(T)$.
Una regla de decisión de la incompleta información de juego de $(G,S)$ es una asignación $$ \sigma: T\times \Theta\rightarrow \Delta(A) $$
Expansión:
Considere dos estructuras de información, $S^1\equiv (T^1, \pi^1)$ y $S^2\equiv (T^2, \pi^2)$. Decimos que $S^*\equiv (T^*, \pi^*)$ es una combinación de $S^1$ y $S^2$ si
$T_i^*=T_i^1\times T_i^2$ $\forall i$.
$\pi^*:\Theta \rightarrow \Delta(T^1\times T^2)$ ha $\pi^1$ y $\pi^2$ como marginales.
Una estructura de información $S^*$ es una expansión de una estructura de información $S^1$ si existe una estructura de información $S^2$ tales que $S^*$ es una combinación de $S^1$ y $S^2$.
Mi pregunta:
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El juego, como es descrito por los autores, parece asumir que, antes de recibir la señal de $T_i$, cada jugador $i$ sabe nada acerca de lo que será la realización del estado. Yo llamo a esto como el nivel de referencia de la información supone.
(Por ejemplo, en otros contextos, uno puede suponer que el estado es un vector de tamaño $N\times de 1$ y, antes de recibir la señal de $T_i$, cada jugador $i$ sabe la realización de la $i$ésimo componente del vector. Esto correspondería a otro tipo de nivel de referencia de la información)
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Deje que $\underline{S}$ denotar la estructura de información que es totalmente informativo, es decir, no añade nada al nivel de referencia de la información supone (también llamado DEGENERADO en p.26 de los vinculados papel). En otras palabras, $\underline{S}$ se compone de
(a) para cada jugador i $$, un conjunto finito de señales de $T_i$, donde escribimos $T\equiv T_1\times T_2\times ... \times T_N$.
(b) una distribución de señales de $\pi: \Theta \rightarrow \Delta(T)$ tal que $\pi\cdot|\theta)=\tilde{\pi}$ $\forall \theta \en \Theta$ para algunos $\tilde{\pi}\in \Delta(T)$. En otras palabras, la probabilidad condicional es igual a la incondicional y nuestra creencia en la distribución de probabilidad del estado no se actualiza.
Aviso de que hay muchas maneras de caracterizar el valor informativo de estructura de la información (sólo variando $T$ y $\tilde{\pi}$).
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Deje que $\mathcal{S}$ denotar la colección de todas las posibles estructuras de información. Más precisamente,
$$ \mathcal{S}\equiv \{S| T \text{ es un espacio métrico separable}, \text{ $\pi:\Theta \rightarrow \Delta(T)$ es una medida de probabilidad en $(T,\mathcal{B}(T))$}\} $$ donde $\mathcal{B}(\cdot)$ denota Borel sigma álgebra.
Tenga en cuenta que $\mathcal{S}$ contiene todas las formas posibles para caracterizar el valor informativo de estructura de la información.
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Pregunta: Podemos demostrar que, para una determinada $\underline{S}$, cada $S\in \mathcal{S}$ es una expansión de $\underline{S}$ (incluyendo $S=\underline{S}$)?
Me parece que este mantenga a la luz del Teorema 1 combinado con la lectura en p.26 de la ponencia "Ahora considere el caso donde la original estructura de la información es degenerado (sólo hay una señal que representa el previo sobre los estados del mundo). En este caso, el conjunto de Bayes se correlacionaron los equilibrios corresponden al conjunto de distribuciones de acciones y estados que pudieran surgir en la elección racional, por una decisión el fabricante con cualquier estructura de la información"
