No resuelvas la EDP de Black-Scholes, resuelve la ecuación del calor
Uno de los principales resultados de las finanzas matemáticas es la demostración de que la EDP de Black-Scholes puede trasladarse a la ecuación del calor. La ecuación del calor es matemáticamente más agradable de manejar y analizar, y computacionalmente tiene mucho mejores solucionadores que otros solucionadores genéricos de EDP. No resuelvas la EDP de Black-Scholes, ¡resuelve la ecuación del calor! Si esto termina con condiciones de contorno un poco más incómodas, entonces los beneficios seguirán superando con creces las pérdidas.
Hay mucho que aprender
¿Qué otros consejos puede dar? ¿Qué otras mejoras conoces que ayuden a la precisión, la velocidad y la estabilidad?
Hay demasiadas para enumerarlas, y hay un equilibrio entre crear el mejor solucionador del mundo y el tiempo que se tarda en programar algo. Si te pasas 6 meses construyendo un solucionador de nivel de producción optimizado para un tipo de condición de contorno/problema que se ejecuta en 1s, cuando una simple implementación preparada en un día podría haber funcionado en 1 hora o de la noche a la mañana, y ambos se utilizan sólo una vez, entonces lo último es más favorable.
Aprender cómo hacer que estos solucionadores sean mejores, más estables, más precisos, más rápidos, etc. es muy complicado, y se necesitan grados para aprender/comprender todos los trucos (varios de ellos todavía se están desarrollando). Algunas buenas referencias son:
y el libro de texto estándar es:
Un truco fácil
Uno de los mejores trucos que aprendí/veí fue que ya sabes que debes elegir un paso de tiempo pequeño (o discretización espacial) tal que $\mathcal{O}(\Delta t) \sim \mathcal{O}(\Delta x^2)$ que, si no recuerdo mal, hace que el esquema tenga precisión $\mathcal{O}(\Delta x^2)$ . Sin embargo, creo que es para un esquema de Euler de tiempo hacia adelante y de diferencias espaciales centrales que si se escoge $\Delta t = \frac{\Delta x^2}{4}$ entonces los errores espaciales y temporales se cancelan exactamente en el orden principal, y por lo tanto se obtiene una precisión $\mathcal{O}(\Delta x^4)$ . Sin embargo, no tengo mis libros de texto conmigo, así que tendría que volver a comprobar el coeficiente y las precisiones que he citado. No obstante, por una elección inteligente de este coeficiente se obtiene un esquema mucho más preciso sin coste adicional, lo que me parece un truco muy útil.
