Homogénea de Grado Dos Funciones de Utilidad y Homothetic Preferencias.

Question

La comprensión de que no me queda claro cuando se está en hacer homothetic preferencias de representar una función de utilidad y vice-versa. Mi solución para el problema que se publica a continuación el problema:

Un consumidor preferencias son descritos por una función de utilidad que es homogéneo de grado dos: Para todo $\alpha > 0$ y $x \in R^{L}_{+} $ ,

$u(\alpha x) = \alpha^2 u(x)$

El problema de que no estoy siendo claro es: Q) "Son los consumidores las preferencias de homothetic? Mostrar que son o dar un contraejemplo."

Mi solución:

De acuerdo a Mas Colell et al. "Teoría microeconómica" (capítulo 3, página 50)

Por lo tanto, esta dado de los consumidores las preferencias no son homothetic como que no genera una función de utilidad que es homogénea de grado 1 (HOD(1)). Un ejemplo contrario sería una función de utilidad que es HOD(1) como la Cobb Douglas Función de Utilidad

$ U(x_1, x_2) = x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha} $

Para concluir, este consumidor es que las preferencias no son homothetic ya que representa una función de utilidad de HOD(2). Mientras que , de acuerdo a Mas Colell et al. preferencia $\pmb{\succsim}$ es homothetic $\textbf{si y sólo si}$ se admite una función de utilidad que es HOD(1).

Podría usted por favor me ayude en la comprensión de donde estoy pasando mal con lo que Mas-Colell se mencionó anteriormente "condición necesaria y suficiente" y como una función de utilidad que es HOD(2) implica que $\pmb{\succsim}$ es homothetic.

Gracias.

Answer 1

Primero de todos, con el fin de proporcionar un contraejemplo, es necesario construir una función de utilidad que es homogénea de grado dos, pero no es homothetic. Por lo tanto, el contraejemplo que usted dio en su solución no funciona.

Para demostrar la declaración directamente, vamos a $u(x)$ ser una utilidad de representación que es homogénea de grado dos. Es decir, $u(\alpha x)=\alpha^2 u(x)$. Por lo tanto, si $x\sim y$, lo que significa $u(x)=u(y)$, tenemos $$u(\alpha x)= \alpha^2 u(x)=\alpha^2 u(y)=u(\alpha y).$$ Esto significa que $\alpha x\sim \alpha$ y, y por lo tanto, las preferencias son homothetic.

También podemos utilizar la proposición en GTH: UNA continua, $\succeq$ es homothetic si y sólo si se admite una función de utilidad de $u(x)$ que es homogénea de grado uno. Una limitación es que la utilidad de la representación es única hasta la monotonía de las transformaciones, por lo que incluso si una representación $u(x)$ no es homogénea de grado uno, las preferencias podría todavía ser homothetic si una transformación monótona de la representación, $\phi(u(x))$, es.

En esta pregunta, si consideramos que una transformación monótona $\hat{u} (x)=(u(x))^\frac{1}{2}$, esta $\hat{u}(x)$ aún representa las preferencias de $\succeq$. Observe que $$\hat{u} (\alpha x)=(u(\alpha x))^\frac{1}{2}=(\alpha^2 u(x))^\frac{1}{2}=\alpha (u(x))^\frac{1}{2}=\alpha\hat{u} (x),$$ lo que significa que esta nueva representación es homogénea de grado uno. Por lo tanto, por la proposición anterior, las preferencias son homothetic.

Answer 2

en realidad, si una función de utilidad es HOD(2), entonces no está HOD(1), por lo tanto, se puede concluir (como Mas Colell estados), que no representan un homotetic preferencia relación.

Como con el apoyo de un ejemplo, considere una economía con sólo 1 buena y un consumidor cuyas preferencias son HOD(2) y puede ser representado por el utiliy función $u(x)=x^2$.

Es fácil ver que $u(\cdot)$ es homogénea de grado 2 (para $\alpha>0$): $$u(\alpha x)=(\alpha x)^2=\alpha^2x^2=\alpha^2 u(x)$$ sin embargo, usted también sabe que $\forall \alpha\neq1$ tiene $\alpha^2u(x)\neq \alpha u(x)$, por tanto, llegar a la conclusión de que $u(\cdot)$ no es HOD(1). En este punto se puede utilizar Mas Colell la proposición y la conclusión de que este tipo de preferencias no es necesariamente homotetic.

Lo que Mas Colell significa con "necesario y suficiente" es que $\succeq$ es continua, homotetic y racional siempre se puede racionalizar él, como con un HOD(1) función de utilidad; por otra parte, mientras la utilidad de la representación de una relación de preferencia es HOD(1), siempre se puede probar que $U(a)>U(b)\Rightarrow a\succeq b$ donde $\succeq$ es racional, continua y homotetic (cfr. Mas Colell pag.96, ejercicio 3.C.5).