Estoy simulando el precio de una opción de la cesta con la ayuda de las ecuaciones del informe http://www.it.uu.se/edu/course/homepage/projektTDB/vt07/Presentationer/Projekt3/Dimension_Reduction_for_the_Black-Scholes_Equation.pdf .. Soy un principiante en el uso de métodos numéricos en las finanzas .. por lo tanto, estoy atascado en probablemente las preguntas más triviales .. Este documento utiliza el método BDF2 .. El método incluye la realización de PCA y luego traducir las coordenadas de acuerdo con las siguientes ecuaciones .. \begin {Ecuación} \bar {x}= \textbf {Q'} \ln (S) + b{ \tau } \end {ecuación} donde $\tau=T-t$ y $b_i= \sum_{j=1}^d q_{ij} (r- \frac{\sigma_j^2}{2})$ . Vi dos fórmulas diferentes en dos lugares distintos alternativamente una era $b_i= \sum_{j=1}^d q_{ij} (r- \frac{\sigma_j}{2})$ y no puedo entender cuál es la correcta. Aplicando el cambio de variables a la Ecuación de Black Scholes obtenemos, \begin {Ecuación} \frac { \partial u}{ \partial \tau } = \frac12 \sum\limits_ {i=1}^d \lambda_i \frac { \partial ^2 u}{ \partial x_i^2}-ru \end {ecuación} donde $(\bar{x},\tau) \in \mathbb{R}^d \times (0,T)$ y $\lambda_i$ es el número de valores propios $i$ de la matriz de covarianza. El resultado de la opción cesta es, \begin {Ecuación} u( \bar {x},0)= \max ( \sum\limits_ {i=1}^d \mu_i \exp ( \sum_ {j=1}^d q_{ij} x_j),0) \end {ecuación} donde $\bar{x} \in \mathbb{R}^d$ . Ahora mi pregunta es.. ¿Qué hay en el vector U? Según yo la dimensión de U debería ser no_de_activos_subyacentes, pero entonces no entiendo como la discretización espacial juega un papel aquí. Entiendo que la condición inicial de U es la función de contrato(eq. 12) pero entonces, aparece como un escalar 1 x 1 para mí. Estoy bastante confundido aquí.
Respuesta
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$u$ es el valor de la opción, y es de hecho un escalar (que, por supuesto, es una función sus varios subyacentes). Estás estudiando una única opción sobre una cesta, no una cesta de opciones.
En cuanto a las dos fórmulas diferentes: puedes elegir la correcta simplemente mirando las unidades de sus términos. La tasa $r$ es la inversa de un tiempo; cada volatilidad $\sigma_j$ es la inversa de root cuadrada de un tiempo (puedes verlo en sus definiciones, o en su papel en la fórmula de Black-Scholes). La fórmula que los combina de forma significativa es la que tiene el $\left( r - \frac{\sigma_j^2}{2} \right)$ plazo.
