Resolución de un problema de maximización por sustitución cuando la restricción está en forma implícita

Question

Estoy tratando de entender cómo se derivaron las condiciones de primer orden para una solución interior de un problema de maximización utilizando la sustitución método.

El problema es: $$\max\limits_{x\ge0,y\ge0}P(a-x)+(1-P)(b-y)$$ con sujeción a $$Pf(x)+(1-P)f(y)=c$$ donde: $a,b,c>0$ , $P\in (0,1)$ , $f:[0,+\infty]\to[0,+\infty]$ , creciente y estrictamente cóncavo sobre su dominio.

Puedo ver cómo se resuelve esto utilizando un lagrangiano para encontrar a partir de las condiciones de primer orden que $f'(x^*)=f'(y^*)$ . Concavidad estricta de $f$ entonces implica $x^*=y^*$ . Pero no sé cómo podemos resolverlo sustituyendo la restricción en la función objetivo. Ya que $f$ es invertible, si $y$ no apareciera en la restricción encontraría $x$ de la restricción invirtiendo $f$ y sustituirlo en la función objetivo. Hacer esto aquí lleva a complicaciones que parecen innecesarias para este sencillo problema. Tiene que haber una forma más sencilla que no consigo averiguar: ¿cuál es? Gracias.

Answer 1

Aquí hay dos métodos. Primer método: la sustitución puede hacerse invirtiendo $f$ . Desde $f$ es estrictamente creciente y continua, $f^{-1}$ está bien definida. Por lo tanto, la restricción se puede escribir \begin {equation*} x = f^{-1} \Big ( \dfrac {c-(1-P)f(y)}{P} \Big ) \end {equation*}

El objetivo es \begin {equation*} \max_ {y \geq 0}{P \Big [a-f^{-1} \Big ( \dfrac {c-(1-P)f(y)}{P} \Big ) \Big ]+(1-P) (b-y)} \end {equation*}

La derivada de esta expresión con respecto a $y$ es igual a \begin {align*} & (1-P) f'(y) (f^{-1})^{'}( \dfrac {c-(1-P)f(y)}{P})-(1-P) \\ = & (1-P) \dfrac {f'(y)}{f^{'} \circ f^{-1}( \dfrac {c-(1-P)f(y)}{P})}-(1-P) \\ & = (1-P) ( \dfrac {f'(y)}{f'(x)}-1) \end {align*} Y así $f'(y^{*})=f'(x^{*})$ en el punto óptimo.

Segundo método: ya que $f$ es invertible, podemos hacer un cambio de variables y definir $w=f(x)$ y $z=f(y)$ . El problema se convierte entonces en \begin {equation*} \max_ {w \geq 0, z \geq 0}{P(a-f^{-1}(w))+(1-P)(b-f^{-1}(z))} \end {equation*} sujeto a \begin {ecuación*} P w +(1-P)z=c \end {equation*} Sustituyendo $w=(c-(1-P)z)/P$ en el problema entrega \begin {equation*} \max_ {z \geq 0}{P(a-f^{-1}( \dfrac {c-(1-P)z}{P})+(1-P)(b-f^{-1}(z))} \end {equation*} Diferenciando con respecto a $z$ da la misma solución.

Answer 2

Dejemos que $g$ sea la función inversa de $f$ definida sobre el rango de $f$ . Observe que $g$ es creciente y estrictamente convexo. Podemos reescribir el problema de maximización como \begin {eqnarray*} \max\limits_ {u \geq 0, \ v \geq 0} & P(a - g(u)) + (1-P)(b-g(v)) \\ \text {s.t.} & Pu + (1-P)v = c \end {eqnarray*} donde $u=f(x)$ y $v = f(y)$ . Resolver lo anterior es equivalente a resolver \begin {eqnarray*} \min\limits_ {u \geq 0, \ v \geq 0} & Pg(u) + (1-P)g(v) \\ \text {s.t.} & Pu + (1-P)v = c \end {eqnarray*} Ahora puedes sustituir $v= \displaystyle\frac{c - Pu}{1-P}$ y reescribir el problema como \begin {eqnarray*} \min\limits_ {0 \leq u \leq \frac {c}{P} } & Pg(u) + (1-P)g \left ( \frac {c - Pu}{1-P} \right ) \end {eqnarray*} Diferenciando con respecto a $u$ , obtenemos el FOC como:

$\displaystyle Pg'(u) - Pg'\left(\frac{c - Pu}{1-P}\right) = 0$

Desde $g$ es estrictamente convexo, la solución es: $u = \displaystyle\frac{c - Pu}{1-P}$ es decir $u = v = c$ . Por lo tanto, en el momento óptimo $x = y$ se mantiene.