¿Cómo demostrar que el WPBE es SE en el juego de la señalización?

Question

La definición de un juego de señales:

Un juego de señales es un juego extensivo con la siguiente estructura:

(i) Un movimiento de azar determina primero un estado del mundo/tipo $t T$ que se extrae de T según una distribución de probabilidad $ T$ ,

(ii) El primer jugador, denominado emisor (jugador s), observa el estado verdadero/su tipo $t T$ y elige una señal/mensaje $m M$ para enviar al segundo jugador, denominado receptor (jugador r),

(iii) El receptor observa el mensaje m del emisor (pero no el tipo t del emisor), y elige una acción $a A$ ,

(iv) Los pagos de los jugadores vienen dados por las funciones $u_i: T × M × A R$ , donde $i {s, r}$ .

Necesito probar:

Si los conjuntos $T$ , $M$ y $A$ son finitos, entonces una evaluación $<\beta_s, \beta_r, \mu>$ es una WPBE si y sólo si es una SE.

El SE debe ser un WPBE, esto es trivial. Pero estoy luchando con la prueba de WPBE es SE en este juego.

Quiero definir una secuencia de estrategia estrictamente mixta y el correspondiente sistema de creencias para demostrar que cuando no se puede alcanzar el conjunto de información del receptor, la creencia sigue siendo consistente. Pero estoy atascado aquí.

¿Puede alguien darme alguna pista sobre cómo probar esto? ¿Y cómo definir dicha secuencia?

Answer 1

Reclamación: Si los conjuntos de elección $T, M,$ y $A$ son finitos, entonces una evaluación $\{\beta^*_{r}, \beta^*_{s}, \mu^*\}$ es un WPBE (equilibrio bayesiano perfecto débil) del juego de señalización en dos etapas entre el receptor $r$ y el remitente $s$ si y sólo si es un SE (equilibrio secuencial).

Prueba: SE $\implies$ WPBE es trivial ya que los SEs son PBEs por construcción, y por lo tanto también son WPBEs.

Para demostrar que un WPBE es también un SE para este juego de señalización sobre conjuntos de elección finitos $T, M,$ y $A$ debemos demostrar que existe una tupla $(\beta^n_r, \beta^n_s, \mu^n)$ tal que $\{\beta^*_{r}, \beta^*_{s}, \mu^*\} = \lim\limits_{n \to \infty} (\beta^n_r, \beta^n_s, \mu^n)$ para una estrategia totalmente mixta $\beta^n$ tal que, para todo $n$ ,

$$ \begin{align} \mu^n(t|m) = \frac{\pi(t)\beta^n_s(m|t)}{\sum_{t' \in T}\pi(t')\beta^n_s(m|t')} &&\text{whenever} \sum_{t' \in T} \pi(t')\beta^n_{s}(m|t') > 0 \end{align} $$

ya que se trata de un juego de dos jugadores entre jugadores $r$ y $s$ . La condición de $\mu^n$ arriba se conoce como consistencia débil (bayesiana) .

Para construir un perfil de estrategia totalmente mixto, $\beta^n$ Consideremos en primer lugar el siguiente perfil de estrategia de envío de mensajes para el jugador $s$ en función de $n$ condicionada por el estado del mundo $t$ :

$$ \beta^n_{s}(m|t) = \small{ \begin{cases} \frac{n-1}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right) \beta^*_s(m|t) && \text{if } \beta^*_s(m|t) > 0 \text{ and } \sum_{t' \in T} \pi(t')\beta^*_{s}(m|t') > 0 \\ \frac{n-1}{n} \left(\frac{1}{n \mathcal{N_s}(t)}\right) && \text{if } \beta^*_s(m|t) = 0 \text{ and } \sum_{t' \in T} \pi(t')\beta^*_{s}(m|t') > 0 \\ \frac{n-1}{n} \left(\frac{\pi(m) \mu^*(t|m)}{n\pi(t)} \right) && \text{if } \mu^*(t|m) > 0 \text{ and } \sum_{t' \in T} \pi(t')\beta^*_{s}(m|t') = 0 \\ \frac{1}{n} \left[1 - \sum\limits_{m' \in M} \left(\frac{n-1}{n} \frac{\pi(m') \mu^*(t|m')}{\pi(t)}\right) \right]&& \text{otherwise} \end{cases} } $$

donde, tomando prestada la notación de Fudenberg y Tirole (1991) ,

$$\mathcal{N_s}(t) \equiv \#\{m \in M\ |\ \beta^*_s(m|t) = 0 \text{ and } \sum_{t' \in T} \pi(t')\beta^*_{s}(m|t') > 0 \}.$$

La finitud de $M$ se invoca aquí para proporcionar un dominio bien definido sobre $\#\{\cdot\}$ . Estos cuatro casos abarcan el espacio de parámetros de $\beta_s^*$ y $\mu^*$ en este juego. Así, $\sum_{m \in M} \beta^n_{s}(m|t) = 1$ y $\beta^n_{s}(m|t) > 0$ para todos $n$ y para todos $m \in M$ estableciendo que $\beta^n_s$ es un perfil de estrategia totalmente mixto para el jugador $s$ . Por construcción del comportamiento asintótico de $\beta^n_{s}(m|t)$ es fácil comprobar que $\beta^n_{s} \to \beta^*_s$ como $n \to \infty$ .

El perfil de estrategia residual del jugador $r$ , $\beta_r^n(a|m)$ se puede construir simplemente asignando probabilidades sólo en el espacio de parámetros de $\beta^*_r$ ya que la creencia $\mu^*$ se acaba de identificar por $\beta^*_s$ :

$$ \beta^n_r(a|m) = \begin{cases} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\beta^*_r(a|m) && \text{if } \beta^*_r(a|m) > 0 \\ \frac{1}{n\mathcal{N_r}(m)} && \text{if } \beta^*_r(a|m) = 0, \end{cases} $$ donde $\mathcal{N_r}(m) \equiv \#\{a \in A\ |\ \beta^*_r(a|m) = 0\}$ . Claramente $\beta^n_r \to \beta^*_r$ como $n \to \infty$ .

Por último, mediante la construcción de $\beta^n_s(m|t)$ es sencillo comprobar que la secuencia $$ \begin{gather} \mu^n(t|m) = \frac{\pi(t)\beta^n_s(m|t)}{\sum_{t' \in T}\pi(t')\beta^n_s(m|t')} \to \mu^*(t|m) \text{ as } n \to \infty \end{gather} $$

y así se demuestra la coherencia. De ahí que el WPBE sea también un SE para este juego. $\ \blacksquare$