No siempre existe un consumo de paquete en el que la función de utilidad indirecta es la inversa de la de los gastos de la función?

Question

Dos preguntas:

1. Dado $v(\vec{p},m)$ y $e(\vec{p},\bar{U})$, es no sólo un único punto en el que estos son inversos el uno del otro?
2. Hace un inversa siempre existe para un determinado vector de precios $\vec{p}$, ingresos $m$ y $\bar{U}$, $v$ y $e$?

Estos son los puntos de mis compañeros y yo estamos discutiendo acerca de como nos preparamos para nuestro de mitad de período.

También, prefiero riguroso respuestas, así que si usted puede, siéntase libre de ser tan minuciosa como la que usted desea.

Answer 1

Con respecto a la pregunta 1:

A partir de la suposición de que el consumidor tiene un solo ingreso valor $m$, sólo puede haber un valor de $m$. Así que por la noción de que $e$ y $v$ son inversos, sólo puede haber un valor de $e$ de los cuales $m$ corresponde y por lo tanto sólo una $u$. Así que hay un único punto.

Respecto A La Pregunta 2:

Si se tiene (1) una función de utilidad es continua y localmente no saciado y (2) si $m > 0$ y (3) si ambos UMP y EMP existe, entonces son equivalentes. Y $e$ y $v$ son inversos.

Reivindicación 1: Resolución de la UMP resuelve EMP.

Prueba:

Supongamos paquete de $c^*$ resuelve la UMP, pero no EMP. Deje que $c'$ a resolver EMP. Entonces (1) cantidad que se gasta en $c^*$ mayor que $c'$ e lo $u(c') \geq u(c^*) $ porque, obviamente, el gasto de más significa que la peor o la misma utilidad. Pero (2) por los locales nonsatiation un consumo existe un paquete de $c"$ lo suficientemente cerca para $c'$ tal que la cantidad que se gasta en $c"$ es menor que la cantidad que se gasta en $c^*$ y $u(c") > u(c^*)$. (3) Contradicción, porque asumimos $c^*$ resuelve UMP.

Reivindicación 2: la Solución de EMP resuelve UMP.

Prueba:

Supongamos paquete de $c^*$ resuelve EMP pero no UMP. Deje que $c'$ a resolver UMP. Entonces (1) $u(c') > u(c^*)$ aunque gastamos la misma cantidad en cada una. Es decir, $c^*$ no resuelve UMP, ya que menos de la utilidad de los mismos $m$. Porque la cantidad que se gasta positivo, podemos encontrar $t$ donde $0<t<1$ tal que la cantidad que se gasta en $tc'$ es menor que la que se gasta en $c^*$ sin embargo $u(ct') > u(c^*)$ porque $c^*$ no resuelve la UMP. (3) Contradicción, porque nos dijo que $c^*$ resuelto EMP.

Resumen:

1. Si existen soluciones, ya sea a la UMP o EMP, a continuación, existen soluciones para el otro y son funciones inversas.
2. Si una función inversa existe, debe ser un punto.

Answer 2

En cuanto a

PREGUNTA 1
El concepto de "inversa" se utiliza normalmente para una función. Aquí no estamos tratando sólo con dos funciones, pero con dos problemas de optimización: la "Dualidad" es, en un sentido, el concepto análogo de la "función inversa", para problemas de optimización.

Si dos problemas de optimización son dual (más o menos riguroso sentido), entonces la solución de la que, en un sentido, la "inversa" de la solución de la otra.

Pero, ¿qué es una "solución" en un problema de optimización? Cuando el análisis se resumen, la solución no toma en un determinado valor numérico, sino que es una función de valor, es decir, una función que nos va a dar la solución para los valores de las entradas, por que la solución depende.

Para el Problema de Maximización de Utilidad (UMP), el valor de la función es la función de Utilidad Indirecta, $v(\mathbf p,m)$. Abusando de la notación (pero ganamos algo de este abuso) podemos escribir

$$v(\mathbf p,m) = \bar U \implica m = v^{-1}(\mathbf p,\bar U)$$

Para el Problema de Minimización del Gasto (EMP), su valor de la función es el Gasto de la función, $e(\mathbf p,\bar{U})$, y

$$e(\mathbf p,\bar{U}) = m \implica \bar U = e^{-1}(\mathbf p,m)$$

Mirando a los dos vemos que

$$v(\mathbf p,m) = e^{-1}(\mathbf p,m),\;\;\; v^{-1}(\mathbf p,\bar U) =e(\mathbf p,\bar{U})$$

Así que, yo no creo que es correcto decir que "son los inversos de un solo punto". Estirar el concepto de "inversa", para cualquier conjunto $(\mathbf p,m)$, la "inversa" de los Gastos de la función es la función de Utilidad Indirecta, y para cualquier conjunto $(\mathbf p,\bar U)$ la "inversa" función de Utilidad Indirecta es el Gasto de la función.

Nota: Cuando el concepto de "inversa" se trata de la forma adecuada (es decir, para univariante funciones), para luego examinar la propiedad de punto por punto a la conclusión de que la sostiene.