Estoy tratando de entender la forma en que Smith llegó a partir de (1) y (2) a (6) y (8).
Podría alguien darme una pista? Gracias!
Es bien sabido que la dinámica del consumo per cápita $c$ y capital $k$ se determina por el siguiente par de ecuaciones diferenciales: \begin{eqnarray} \dot{k} &=& k^\alpha \delta k - c \la etiqueta{1} \\ \frac{{\dot c}}{c} &=& \sigma(\alpha k^{\alpha - 1} - \delta \rho) \etiqueta{2} \end{eqnarray} Una Solución
El sistema de ecuaciones (1)-(2) es dauntingly no lineal. Para acercarse a una solución, definir el capital-output ratio (una de Bernoulli transformación) por $z = k^{1-\alpha}$ y el consumo -, el ratio de capital por $x = c/k$. El uso de estas transformaciones por las que el sistema puede escribirse como \begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1-\alpha)[1 - (\delta + x)z] \etiqueta{6} \\ \frac{{\dot x}}{x} &=& \frac{\sigma \alpha - 1}{z} + \delta (1 - \sigma) - \rho\sigma + x \etiqueta{7} \end{eqnarray} La transformación de Bernoulli convierte la acumulación de capital ecuación [Ecuación (1)] en el lineal, aunque de manera no autónoma, la ecuación diferencial en la Ecuación (6). A pesar de esta simplificación, el sistema todavía no permite una solución analítica. La ecuación (7) aún es no-lineal.
Sin embargo, supongamos que $\sigma = 1/\alpha$. En ese caso $z$ desaparece de la Ecuación (7), y se convierte en el sistema recursivo: la Ecuación (7) se reduce a $$ \frac{\dot{x}}{x} = - \frac{\delta(1- \alpha) \rho}{\alpha} + x \etiqueta{8} $$ mientras que $z$ evoluciona de acuerdo a la Ecuación (6), dado el proceso forzado $x$ se determina en la Ecuación (8). Este es un simple, autónoma de la ecuación logística.
