Comprendiendo la relación entre la fórmula de Black-Scholes y una cartera replicante.

Question

Estoy estudiando por mi cuenta y estoy considerando el siguiente ejemplo. El ejemplo específico no es especialmente relevante, pero lo incluí como referencia.

Estoy tratando de entender la relación entre una cartera replicante y la ecuación de Black-Scholes.

Es mi entendimiento que una cartera replicante para un put implica la venta en corto de acciones y prestar dinero. Habría un flujo de efectivo positivo de $Se^{-\delta T} N(-d_1)$ y un flujo de efectivo negativo de $Ke^{-rT} N(-d_2).$

Sin embargo, la fórmula de Black-Scholes para un put es: $P = Ke^{-rT}N(-d_2) - Se^{-\delta T} N(-d_1)$.

Esta fórmula sugiere que una posición larga en un put es un flujo de efectivo positivo de $Ke^{-rT} N(-d_2)$ y un flujo de efectivo negativo de $Se^{-\delta T} N(-d_1)$.

Entonces, ¿la cartera replicante no crearía una posición put en corto, mientras que la fórmula de Black-Scholes proporciona una posición put en largo (ya que los signos están intercambiados al comparar la cartera replicante con la fórmula de Black-Scholes para un put)?

¿Deberían ejemplos como el siguiente aclarar en qué posición se encuentra el put?

Básicamente estoy buscando clarificación sobre los signos de los términos en la fórmula.

Answer 1

Es mi entendimiento que un portafolio replicante para un put involucra la venta en corto de acciones y prestar dinero.

No puedes replicar estáticamente una opción. Por lo tanto, esto no es cierto en general, necesitarás reequilibrar tu portafolio replicante (subyacente + efectivo) dinámicamente si quieres replicar la opción. Esto implicará a veces comprar acciones y pedir prestado dinero.

Básicamente estoy buscando aclaración sobre los signos de los términos en la fórmula

Toma el caso $S=0$ y verás que los signos $$ P(K,T) = Ke^{-rT}N(-d_2) - Se^{-\delta T} N(-d_1) $$ son efectivamente correctos ya que en ese caso necesitas encontrar $P(K,T) = K e^{-rT} > 0$, porque el pago de una opción de venta es: $\max(K-S_T,0)$.

Extendiendo esta idea:

• Call (Pago $\to$ Precio): $$\max({\color{blue}{+S}}_T{\color{blue}{-K}},0) \to C(K,T) = {\color{blue}{+S}}e^{-\delta T}\phi(d_1) {\color{blue}{-K}} e^{-rT}\phi(d_2)$$
• Put (Pago $\to$ Precio): $$\max({\color{blue}{+K}}{\color{blue}{-S}}_T,0) \to P(K,T) = {\color{blue}{+K}}e^{-rT}N(-d_2) {\color{blue}{-S}} e^{-\delta T} N(-d_1)$$