Muestreo de Monte Carlo antitético

Question

En el libro de Monte Carlo en Finanzas de Peter Jaeckel, leí la siguiente oración:

Cuando el primer momento realizado de la variable subyacente $\{z_i\}$ tiene un fuerte impacto en el resultado de la simulación general, el muestreo antitético es una forma fácil de mejorar la precisión del cálculo ya que corrige el primer momento. Por supuesto, si usamos la simulación de Monte Carlo para calcular el valor de contratos de derivados que dependen principalmente (o solo) de momentos superiores, el muestreo antitético no ayudará.

Por lo que entendí del muestreo antitético, reduce la varianza del estimador de la media si:

$$ Cov(v(z_i), v(-z_i)) < 0$$ Dado que no se mostraron pruebas en el libro, mis preguntas son entonces:

• ¿Cómo corrige el primer momento?
• ¿Por qué no ayuda para contratos de derivados que dependen de momentos superiores?

Answer 1

1) El muestreo antitético reduce la varianza en el sentido de que para cada camino generado por números aleatorios en el intervalo [0,1] (que representan probabilidades), genera otro camino que está correlacionado con ese camino (por ejemplo, tomando el 1 - número aleatorio del primer camino). Como tal, por construcción, obliga a que haya otro camino correlacionado en la simulación y, por lo tanto, una reducción en la varianza en comparación con una serie de solo números aleatorios.

Para ilustrar mediante un ejemplo:

Supongamos que uno atribuye al modelo "Movimiento Browniano con Deriva" para los rendimientos de acciones, y que este modelo describe con precisión la distribución de rendimientos para la acción que se está modelando.

Luego, sus rendimientos de acciones pueden modelarse usando la siguiente ecuación:

$$E(r)_{t} = t + \sigma\epsilon*t^{0.5}$$

donde es un número aleatorio tomado de una distribución normal estándar.

Supongamos que se están generando 2 posibles caminos de rendimiento para un periodo, utilizando 2 métodos.

Método 1: Simulación de Monte Carlo utilizando muestreo antitético; usando muestras aleatorias para el camino 1 y la técnica antitética (1 - número aleatorio) para el segundo camino.

Método 2: Simulación de Monte Carlo; utilizando muestras aleatorias para ambos caminos

Para generar caminos aleatorios, supongamos que se extrae de una distribución uniforme [0,1] para generar una probabilidad aleatoria y se transforma esta probabilidad utilizando la distribución normal estándar. Supongamos que esta probabilidad aleatoria es 0.84 resultando en un z-score de 1 para el primer camino bajo el Método 1 y el Método 2.

Bajo el Método 1, utilizando muestreo antitético, entonces se generaría el segundo camino utilizando (1 - probabilidad aleatoria del primer camino) para generar una probabilidad de 0.14 resultando en un z-score de -1. Es fácil ver que si uno hace esto para varios caminos, lo que resultará será una distribución de rendimientos que está distribuida de manera normal alrededor de , llegando a un primer momento preciso, ya que cada uno de los z-scores derivados de la simulación tendrá un z-score igual pero opuesto de la técnica antitética. Esto es consistente con la suposición de lognormalidad de la distribución de acciones.

Bajo el Método 2, la segunda extracción aleatoria podría resultar en cualquier z-score para el segundo camino y podría resultar en una volatilidad mayor que la del Método 1, el método de muestreo antitético. Por ejemplo, si el segundo número aleatorio fuera 0.9 resultando en un z score de 1.28, uno tendría 's de 1 y 1.28 para generar la distribución de rendimientos utilizando la ecuación anterior (en lugar de 1 y -1 utilizando muestreo antitético). En este caso, la aleatoriedad pura de su técnica de muestreo introduciría volatilidad, mientras que en el Método 1, está forzando a que la distribución se adhiera al primer momento correcto por construcción. Por supuesto, si uno tuviera un generador de números verdaderamente aleatorios y con suficientes caminos, estos dos convergerían; pero en general, resultarían en una volatilidad mayor que la del muestreo antitético y requerirían un mayor número de caminos para lograr una distribución de rendimientos distribuida de manera normal.

2) El muestreo antitético no ayuda en la fijación de precios de derivados que dependen de momentos más altos en el sentido de que se está forzando a que la distribución de rendimientos esté correlacionada a través de su técnica de muestreo. Si la distribución de rendimientos se distorsiona como resultado del uso de técnicas antitéticas, o no se generan caminos aleatorios y una simulación que incorpora la volatilidad de la orden superior subyacente de su derivado, se obtendrá una valoración inexacta de derivados que se basan en momentos más altos.