Valor de cobertura-Matemáticas financieras

Question

EJERCICIO

Consideramos un mercado financiero libre de arbitraje $(,F,P,S_0,S_1)$ con $<S_0^{1}\cdot(1+r)<$ donde $$0<:=min_{ \in } S_1^{1}(), :=max_{ \in }S_1^{1}, <$$

Sea C una derivada financiera de la forma $C:=h(S_1^{1})$ donde $h\geq0$ es una función convexa.Demuestre que el valor de cobertura $\overline (C)$ de la derivada $C$ viene dada por la fórmula

$$\overline (C)=\dfrac{h()}{1+r}\cdot \dfrac{(1+r)S_0^{1}-}{-}+\dfrac{}{1+r}\cdot \dfrac{-(1+r)S_0^{1}}{-}$$

PREGUNTAS

Tenemos que : $$<S_0^{1}\cdot(1+r)<$$ y $$0<min_{ \in } S_1^{1}()<S_0^{1}\cdot(1+r)<max_{ \in } S_1^{1}()$$

También tenemos que $$<\Longrightarrow min_{ \in } S_1^{1}()<max_{ \in } S_1^{1}()$$

Tenemos un mercado financiero sin arbitraje, así que tenemos la forma: $$(C)=E_Q\bigg[\dfrac{c}{1+r}\bigg]<\infty$$ para $Q\subset P$

Soy nuevo en las matemáticas financieras y no tengo la experiencia necesaria para entender cómo proceder con estos datos. $h \geq 0$ es una función convexa. ¿Me he perdido algún dato de los que me da el ejercicio? $\overline (C)$

Agradecería mucho cualquier pista/solución a fondo porque no tengo ninguna experiencia en este tipo de ejercicios.

Gracias, por adelantado.

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir $S_1(\omega)$ como una combinación convexa de $\alpha$ y $\beta$ con

\begin{equation} S_1(\omega) = \frac{\beta-S_1(\omega)}{\beta-\alpha} \alpha + \frac{S_1(\omega) - \alpha}{\beta-\alpha} \beta \end{equation}

Desde $h$ fuera una función convexa, entonces por definición \begin{equation} h(S_1(\omega)) \leq \frac{\beta-S_1(\omega)}{\beta-\alpha} h(\alpha) + \frac{S_1(\omega) - \alpha}{\beta-\alpha} h(\beta) \end{equation}

Tomando la $\mathbb{Q}$ -valor esperado, al tiempo que se observa que $E^\mathbb{Q}[S_1] = (1+r)S_0$ , \begin{equation} E^\mathbb{Q}[h(S_1)] \leq \frac{\beta-(1+r)S_0}{\beta-\alpha} h(\alpha) + \frac{(1+r)S_0 - \alpha}{\beta-\alpha} h(\beta) \end{equation} que le da un límite superior al precio del derivado.