Yo creo que quieren saber por qué el VIX es un promedio ponderado de la cartera de llamadas y pone con pesos proporcionales a $\frac{1}{K^2}$ (NOTA: obviamente, el T está ahí para ajustar el tiempo de maduración, por lo tanto no es muy esclarecedor).
Vamos a empezar con lo básico. Como se muestra por Breeden y Litzenberger (1978) la segunda derivada de un precio de la opción con respecto a la huelga es proporcional a la neutrales al riesgo probabilidad, es decir, $\frac{\partial^2C}{\partial K^2}=\frac{\partial^2}{\partial K^2} \propto q(K)$ donde $p(K)$ es el riesgo-neutral pdf en $K$. La intuición es que un ser infinitamente apretado mariposa se extendió alrededor de $K$ nos da la neutrales al riesgo probabilidad de $K$.
Ahora que tenemos $q(K)$ podemos construir, en principio, cualquier deseada de la rentabilidad de $f(S_T)$, dado que $$precio(f(S_T))=e^{-rT}E^P[f(S_T)]=e^{-rT}\int_0^\infty f(K)q(K)dK=\int_0^\infty f(K) \frac{\partial^2C}{\partial K^2}dK$$ $ Si integrar por partes la integral anterior y suponga que la función se comporta bien en los bordes, como se muestra aquí usted obtener que:
$$precio(f(S_T))=e^{-rT}f(F)+\int_0^F\frac{\partial^2 f}{\partial K^2}\left(K\derecho)P(K)dK+\int_F^\infty\frac{\partial^2 f}{\partial K^2}\left(K\derecho)C(K)dK$$ donde $F$ es el actual precio a futuro, $C$ y $P$ lo de la llamada y poner los precios.
Como se muestra por Neuberger, si los precios siguen un movimiento Browniano geométrico, es decir, $dS=S\mu dt+S\sigma dW$, entonces $$registro E^Q[S_T]-E^Q[registro de S_T]\propto\sigma^2$$ (NB: simplemente escribir el cumulant de generación de función de una distribución Normal). Esto muestra que en la lognormal los precios de las acciones si ponemos $f(S_T)$ podemos recuperar la volatilidad implícita (NB: la implícita riesgo-neutral de la varianza, pero el físico y el riesgo-neutral varianzas son iguales porque de Girsanov del teorema en un continuo de tiempo de difusión.) Por lo tanto, usted ve inmediatamente que para recuperar el precio del registro de un contrato, usted tiene que calcular $\frac{\partial^2}{\partial K^2}log(K)=-\frac{1}{K^2}$. Esta es la razón por la que en el VIX$^2$ de cálculo de las ponderaciones son inversamente proporcionales a $K^2$.
Por el camino, como una nota de lado, si usted está interesado en riesgo-neutral desviaciones fuera de la log-normal paradigma es lo suficiente como para notar que $Var^Q(S_T)=E^Q[S_T^2]-E^Q[S_T]^2$, por lo tanto, si se establece $f(S_T)=S_T^2$ entonces te darás cuenta de que $\frac{\partial^2}{\partial K^2}K^2=1$ y por lo tanto:
$$Var^Q(S_T)=...\int_0^F P(K)dK+\int_F^\infty C(K)dK$$
