La medida martingala equivalente existe si y solo si $a < S_0^1(1+r)< b$

Question

Ejercicio :

Consideramos un mercado de un periodo $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P, S^0, S^1)$, donde el espacio muestral $\Omega$ tiene un número finito de elementos y la $\sigma-$álgebra $\mathcal{F} = 2^\Omega$. Además, con $S^0$ simbolizamos el activo sin riesgo con valor inicial $S_0^0=1$ en el tiempo $t=0$ y tasa de interés $r>-1$ (lo que significa $S_1^0 = 1+r$). Con $S^1$ simbolizamos un activo con riesgo con valor inicial $S_0^1 >0$ en el tiempo $t=0$ y con valor $S_1^1$ en el tiempo $t=1$ que es una variable aleatoria.

Sea $\mathbb{P}[\{\omega\}]>0$ para todo $\omega \in \Omega$. Definimos : $$a:=\min S_1^1(\omega) \quad \text{y} \quad b:=\max S_1^1(\omega)$$ y asumimos que $0. Mostrar que el mercado es libre de arbitraje si y solo si se cumple : $$a

Intento :

Dado que tenemos que encontrar una condición de si y solo si para que el mercado sea libre de arbitraje, es lo mismo que demostrar que existe una medida de martingala equivalente. Esto queda demostrado por el siguiente teorema :

El Teorema Fundamental de Valoración de Activos : Un mercado financiero no tiene arbitraje si y solo si existe una medida de martingala equivalente.

Así, sea $\Omega = \{\omega_1, \dots , \omega_n\}$. Consideremos $\mathbb{Q}$ como una medida de probabilidad. Para que $\mathbb{Q}$ sea una martingala debe cumplir :

$$S_1 \in L^1(\mathbb Q) \quad \text{y} \quad S_0 = \mathbb{E}_\mathbb Q\bigg[\frac{S_1}{1+r}\bigg]$$

Estas condiciones significan que :

$$\|S_1\|_1 < + \infty \Rightarrow |S_1^1(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)| < + \infty$$

También tenemos :

$$S_0^1 = \frac{S_1^1(\omega_1)}{1+r}\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + \frac{S_1^1(\omega_n)}{1+r}\mathbb{Q}(\omega_n)$$ $$\Rightarrow$$ $$S_0^1(1+r) = S_1^1(\omega_1)\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)\mathbb{Q}(\omega_n)$$

Ahora, para que $\mathbb{Q}$ sea una medida de martingala equivalente, debe ser $\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}$, por lo tanto, dado que $\mathbb{P}[\{\omega\}] >0$ también debe ser $\mathbb{Q}(\omega) >0$.

Finalmente, para que $\mathbb{Q}$ sea una medida de probabilidad legítima, sus componentes deben sumar $1$.

Así, obtenemos el siguiente sistema de condiciones :

$$\begin{cases} S_1^1(\omega_1)\mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)\mathbb{Q}(\omega_n) &=S_0^1(1+r) \\ |S_1^1(\omega_1) + \cdots + S_1^1(\omega_n)| &< + \infty \\ \mathbb{Q}(\omega_1) + \cdots + \mathbb{Q}(\omega_n) &= 1 \\ \mathbb{Q}(\omega_1) &> 0 \\ \quad \vdots \\ \mathbb{Q}(\omega_n) &>0 \end{cases}$$

Pregunta : ¿Cómo se procedería ahora para demostrar que si $a = \min S_1^1(\omega)$ y $b = \max S_1^1(\omega)$ entonces para que exista una medida de martingala equivalente, debe cumplirse :

$$a

Answer 1

Suponga que:

$$ S_0^1(1+r)\leq a,b $$

El arbitraje para una cartera $V_t$ se define como:

$$V_0\leq0, \quad P(V_1\geq0)=1, \quad P(V_1>0)>0$$

Considere pedir prestado a una tasa $r$ para comprar el activo riesgoso de modo que $V_0=0$. Entonces, asumiendo que $a\not= b$:

$$\begin{align} \min_{\omega}V_1(\omega)=a-S_0^1(1+r)\geq 0 \\ \max_{\omega}V_1(\omega)=b-S_0^1(1+r)> 0 \end{align}$$

Por lo tanto, hay arbitraje. El mismo argumento se puede hacer si $S_0^1(1+r)\geq a,b$, pero en este caso el activo riesgoso se vende en corto y el dinero se presta a una tasa $r$. Por lo tanto, para evitar el arbitraje, el mercado debe imponer la siguiente restricción:

$$ a< S_0^1(1+r)< b$$

La desigualdad no necesariamente necesita ser estricta, también podemos tener de manera equivalente:

$$ a\leq S_0^1(1+r)\leq b$$