Generar un resultado lineal en la variación de un subyacente sin coste alguno

Question

Estoy leyendo el libro "Stochastic Volatility Modelling" de Lorenzo Bergomi, y me encontré con este fragmento:

Entiendo todo hasta (5,5) incluido. Pero no veo el sentido de mencionar la deriva de precios que se desvanece. ¿Qué es la "deriva de precios"? Después define la varianza continua (instantánea de hecho) VS forward y escribe que son sin deriva también (el mismo argumento que para la varianza discreta VS forward), y escribe que en un entorno difusivo son iguales a $\left(\ldots\right) dW_t^T$ donde supongo $W^T$ es un movimiento browniano estándar bajo el avance $T$ medida.

¿Se define la deriva de los precios fuera de un entorno difusivo o todo tiene lugar aquí en un entorno difusivo? (El "en un entorno difusivo" es inquietante).

¿Qué hay de general en la observación de Bergomi sobre la deriva de los precios? Quiero decir, ¿hay una manera de definir ser un martingle a través de la linealidad de un determinado P&L o ?

Answer 1

Respuesta corta

Básicamente está haciendo un paralelismo entre una operación de varianza a plazo y una operación de futuros. En ambos casos debería tener que las comillas subyacentes son martingalas en ausencia de arbitraje.

Respuesta larga(s)

Bajo la medida física $\Bbb{P}$ un arbitraje es una estrategia comercial (autofinanciada) $V$ - o más bien el valor de una cartera que aplique esta estrategia - para la que existe un tiempo $T > 0$ tal que $$ V_0=0,\,\, V_T \geq 0\,\, \Bbb{P}-\text{a.s. and } \Bbb{P}(V_T \ne 0) > 0$$

Supongamos que se define un equivalente medida de probabilidad $\Bbb{Q}\equiv\Bbb{P}$ . Dado que, por definición, ambas medidas coinciden en los eventos nulos, nuestra definición de arbitraje se traduce en $$ V_0=0,\,\, V_T \geq 0\,\, \Bbb{Q}-\text{a.s. and } \Bbb{Q}(V_T \ne 0) > 0 \tag{A}$$

Tenga en cuenta que si $\Bbb{Q}$ es además un martingala medida, es decir, si $(V_t)_{t\geq0}$ surge como un $\Bbb{Q}$ -martingale: $$ V_0 = \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} [ V_T ] $$ entonces $(A)$ nunca ocurrirá. Esto explica el papel central de medidas de martingala equivalentes en la teoría de los precios de arbitraje.

Volviendo a poner esto en contexto, has conseguido identificar una estrategia (autofinanciada) (es decir, comprar y vender swaps de varianza a plazo), que sin coste alguno ( $V_t=0$ ), le permite ganar una cantidad $$V_{t'} = (T_2-T_1) \left( \hat{\sigma}_{VS,T_1T_2}^2(t') - \hat{\sigma}_{VS,T_1T_2}^2(t)\right)$$

Basándonos en lo que hemos dicho antes, en ausencia de arbitraje, debería existir una medida $\Bbb{Q} \equiv \Bbb{P}$ tal que $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_{t}[V_{t'}] = V_t$$ por lo tanto, utilizando las definiciones de $V_t$ y $V_{t'}$ , $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}_{t}\left[ \hat{\sigma}_{VS,T_1T_2}^2(t') \right] = \hat{\sigma}_{VS,T_1T_2}^2(t) $$ por lo que las comillas de los swaps de varianza a plazo son martingalas. Suponiendo un caminos continuos proceso (= en un ajuste difusivo ), por el teorema de la representación martingala entonces deberíamos tener $$ \hat{\sigma}_{VS,T_1T_2}^2(t) = ... dW_t^\Bbb{Q} $$ por lo que no hay desviación de precios bajo $\Bbb{Q}$ .