¿La utilidad de DARA implica la de CRRA la mayor parte del tiempo?

Question

La página de Wikipedia sobre aversión al riesgo afirma que "una aversión al riesgo relativo constante implica una aversión al riesgo absoluto decreciente, pero lo contrario no siempre es cierto". no siempre es cierto". Permítanme descomponer esta afirmación en dos partes:

1/ "La aversión al riesgo relativo constante implica una aversión al riesgo absoluto decreciente".

Un ejemplo sencillo es la función de utilidad logarítmica, $u(c) = \ln(c)$ con $c>0$ satisface la DARA porque la función de utilidad está sesgada positivamente $\left(u'''=\frac{2}{c^3} >0\right)$ e implica una Aversión al Riesgo Relativa igual a $1 \left(=-c\frac {u''(c)}{u'(c)}\right)$ .

2/ "pero lo contrario no siempre es cierto".

Me pregunto si este es el caso más frecuente. ¿O si la mayoría de las veces las funciones de utilidad DARA también presentan CRRA?

Le agradecería que ilustrara su respuesta con algunas funciones de utilidad.

Answer 1

Utilizando los resultados derivados en esta respuesta tenemos las siguientes relaciones para cualquier función de utilidad:

(Aversión absoluta al riesgo = $A(c)$ , Aversión al riesgo relativa = $R(c)$ ) : $$A(c) = -\frac {u''(c)}{u'(c)},\;\;\; R(c) = cA(c), \;\; A(c) = \frac 1c R(c)$$

y así

$$\frac {\partial A(c)}{\partial c} = \frac {\partial [(1/c)R(c)]}{\partial c}= -\frac 1{c^2} R(c) + \frac 1{c}\frac {\partial R(c)}{\partial c} \tag{1} $$

y

$$\frac {\partial R(c)}{\partial c} = \frac {\partial [cA(c)]}{\partial c}=A(c) + c\frac {\partial A(c)}{\partial c} \tag{2} $$

Recordando que estas medidas se discuten principalmente para funciones de utilidad donde $u''<0$ y, por tanto, se consideran algebraicamente positivas, podemos deducir qué relaciones se mantienen con certeza y cuáles no.

Ahora $ARA$ satisface como una identidad

$$u''+ A(c)u' \equiv 0 \implies u''' + A'u' + A u'' = 0 \implies u''' = -A'u' + A (-u'')$$

El $DARA$ se caracteriza por $A' <0$ por lo que obtenemos que (es suficiente)

$$DARA \implies u'''>0$$

Así que asumiendo $DARA$ lo que ganamos en conocimiento es que $u'''>0$ .

A su vez $RRA$ satisface como una identidad

$$cu''+ R(c)u' \equiv 0 \implies u''+ cu''' + R'u' + R u'' = 0$$

$$ \implies c u''' = -R'u' + (-u'')(1+R)$$

Suponiendo que $DARA$ tenemos $u'''>0$ y lo que sabemos es que

$$ -R'u' + (-u'')(1+R) > 0 \implies (-u'')(1+R) > R'u'$$

$$\implies R(1+R) > c\cdot R'$$

Se trata de la restricción que $DARA$ impone a $RRA$ . Vemos que la desigualdad se puede satisfacer con $R'$ negativo o cero, e incluso positivo, hasta un grado.

Answer 2

Permítame convertir mi comentario en una respuesta rápida: Usando la notación del artículo que citaste $A(c)$ es la aversión absoluta al riesgo y $c A(c)$ la aversión relativa al riesgo. Si $A(c)$ es decreciente, las preferencias cumplen con DARA. Si $c A(c)$ es constante, las preferencias cumplen la CRRA. Si la CRRA se cumple, entonces $A(c)$ debe ser decreciente en $c$ .

Si tomamos cualquier $A(c)$ tal que $c A(c)$ es decreciente y $A(c)$ es positivo, entonces $A(c)$ también disminuirá. En este caso, las preferencias son tanto DARA como DRRA. Usted ha preguntado si DARA implica CRRA en casi todos los casos. A partir de este análisis, parece más bien que CRRA es el caso excepcional.