Demostrar que la aversión al riesgo absoluto constante y la aversión al riesgo relativo implican la independencia de la riqueza inicial

Question

Pude demostrar que para una cartera con un activo sin riesgo y un activo con riesgo, si la medida de Arrow-Pratt de aversión al riesgo absoluto es constante (es decir, aversión al riesgo absoluto constante, CARA), entonces la cantidad de dólares invertida en el activo con riesgo no depende de la riqueza del agente. Del mismo modo, con una aversión al riesgo relativa constante (CRRA), la proporción de riqueza que un agente invierte en el activo de riesgo tampoco depende de la riqueza del agente.

Ahora bien, ¿cómo puedo demostrar la afirmación más general de que con CARA y $N$ activos de riesgo, las cantidades de riqueza invertidas en cada $N$ ¿los activos de riesgo son independientes de la riqueza inicial del agente? ¿Así como la afirmación análoga para la CRRA?

Answer 1

La base de mi exposición proviene de los ejemplos de Mas-Colell en el capítulo 6.

El problema de maximización para su pregunta específica se puede generalizar con bastante facilidad. Consideremos el caso de un activo con riesgo y otro sin riesgo. Sea $\beta$ sea la riqueza invertida en el activo seguro, normalizada a 1 dólar por dólar invertido. Sea $\alpha$ sea la riqueza invertida en el activo de riesgo, que tiene algún pago aleatorio $z$ tal que:

$$\int z \ \text{d}F(z) > 1$$

Para que la rentabilidad media sea mayor que la del activo sin riesgo. Así que expresamos nuestro problema de maximización como

$$\max \ \int u(\alpha z + \beta) \ \text{d}F(z) \\ \text{s.t.} \quad\alpha + \beta = w$$

Puede aprovechar el hecho de que $w - \alpha = \beta$ $\implies \alpha z + \beta = w + \alpha(z - 1)$ y encontrar las condiciones de primer orden. Si $u$ es cóncavo (con aversión al riesgo) entonces los FOC de Kuhn-Tucker que se combinan para hacer:

$$\int u'(w + \alpha(z - 1))\cdot(z - 1) \ \text{d}F(z) = 0 \quad \text{iff} \quad \alpha \in (0, w) $$

Así que para el caso genérico, puedes hacer la misma configuración con $N$ activos de riesgo y un activo sin riesgo que es mejor que cualquier otro activo sin riesgo. Volvamos a normalizarlo a un pago de 1.

Así que la maximización es ahora:

$$\max \int u(\alpha_1 z_1 + \cdots + \alpha_N z_N + \beta) \ \text{d}F(z_1, \cdots z_N) \\ \text{s.t.} \quad \alpha_1 + \dots + \alpha_N + \beta = w$$

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Notas:

Si ya has hecho el caso fácil, este caso general no debería ser tan malo, sólo algo más de trabajo. Para los demás lectores, a continuación expondré las definiciones de aversión al riesgo constante absoluto y relativo, respectivamente.

$$r_A(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = n \quad \forall x$$ $$r_R(x) = -\frac{x \cdot u''(x)}{u'(x)} = n \quad \forall x$$