Definiciones equivalentes de Auto-Financiación de la Cartera de

Question

Considere la posibilidad de un multi-período de modelo con $t=0,...,T$. Supongamos que hay un vínculo con $B_0=1$ y $B_t=(1+R)^t$ y un stock de $S_0=s_0$ y

$$ S_{t+1}=S_t\,\xi_{t+1}, $$

con $\xi_t$ iid variables aleatorias. Me indican con $(\alpha_t,\beta_t)$ el predecible de los componentes de la cartera. He encontrado dos definiciones diferentes de auto-financiación de la cartera que me gustaría volver a conciliar. En el libro de Tomas de Bjork ("Arbitraje de la Teoría en Tiempo Continuo") se dice que el valor de la cartera en el tiempo $t$ es

$$ V_t^{(\alpha,\beta)} = \alpha_t\,S_t+\beta_t\,(1+R) $$

y la auto-financiación de la condición se expresa como

$$ \alpha_t\,S_t+\beta_t\,(1+R) = \alpha_{t+1}\,S_t+\beta_{t+1}. $$ Esto es bastante intuitivo formulario de mí ya, en Bjork, $\alpha_t$ (resp. $\beta_t$) es, por definición, la cantidad de dinero que podemos invertir en la bolsa de valores (resp. en el bono) en el tiempo $t-1$ y mantener hasta el momento de $t$. Así que si compro $\beta_t$ unidad de la fianza en tiempo $t-1$, a continuación, voy a ganar $\beta_t\,(1+R)$ en vez de $t$.

Sin embargo, en el libro de Andrea Pascucci ("PDE y Martingala Métodos en la Opción de fijación de Precios") se dice que el valor de la cartera es

$$ V_t^{(\alpha,\beta)} = \alpha_t\,S_t+\beta_t\,B_t = \alpha_t\,S_t+\beta_t\,(1+R)^t $$

y la auto-financiación de la condición se expresa como

$$ V_t^{(\alpha,\beta)} =\alpha_t\,S_t+\beta_t\,(1+R)^t = \alpha_{t+1}\,S_t+\beta_{t+1}\,(1+R)^t. $$ Pascucci definir $\alpha_t$ (resp. $\beta_t$) como el importe del activo $S$ (resp. de la fianza $B$) que se celebró en la cartera durante el período de $[t-1,t]$. Son las dos definiciones equivalentes? Estoy bastante seguro de que la solución está en el hecho de que en Bjork se define como el monto invertido , mientras que en Pascucci como la cantidad a cabo. Sin embargo, echo de menos que el tipo de relación que se encuentra entre las dos.

Answer 1

Usted ya ha contestado a su pregunta. En Bjork, el $\beta$ términos representan el valor en el mercado de dinero, o de depósito, cuenta, mientras que los $\beta$ en términos Andrea Pascucci que representan las unidades en el mercado de dinero de la cuenta. Entonces, las dos definiciones son básicamente los mismos. Más específicamente, \begin{align*} \beta^{Bjork}_{t+1} = \beta^{Andrea\, Pascucci}_{t+1} (1+R)^t. \end{align*} Suponemos que el nominal inicial en el mercado de dinero de la cuenta de valor es 1. A continuación, el inicial de la cuenta de mercado monetario de valor, en Bjork, y las primeras unidades de la cuenta de mercado monetario, en Andrea Pascucci, son los mismos.