La prueba del teorema de la utilidad Esperada con tres resultados

Question

Estoy tratando de demostrar el teorema de la utilidad esperada con tres resultados. La utilidad esperada con $n$ resultados es bastante engorroso y largo en la economía de libros de texto de Mas-Colell. Pero tenía la esperanza de que la prueba con tres resultados es más corto, sin embargo, estoy teniendo algunas dificultades para probarlo.

Supongamos que tengo tres loterías $x \succeq y \succeq z$. Podemos pensar de $x$ como el "mejor" de la lotería y $z$ como la "peor". El puede establecer $u(x)=1$ y $u(z)=0$ y, a continuación, $u(y)=p$ donde $p$ es la probabilidad en que un juego de azar con un $p$ de oportunidad de $x$ y $1-p$ oportunidad de $z$ es indiferente a $y$.

¿Cómo debo proceder de aquí para demostrar el teorema de la utilidad Esperada?

Para $n$ de resultados, los estados de la UE, dado que $\succeq $ satisface la independencia y la continuidad de los axiomas, existe una función de utilidad de $ u:Z\rightarrow \mathbb{R}$ tal que si $p $\succeq q\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}p_{i}u(z_{i})\geq \sum_{i=1}^{n}q_{i}u(z_{i}).$$

Edit: Dejar que $u(x)= 1$ y $u(z) = 0$ linealmente escalas de la función de utilidad. Por eso queremos demostrar $$u(y) = u\left ( px + (1-p)z \derecho ) = pu(x) + (1-p)u(z) = p \text{ por la independencia axioma}.$$

Como hemos supuesto que$x \succeq y \succeq z$ entonces se sigue que $u(x) \geq u(y) \geq u(z)$, donde $p \in [0,1]$. ¿Esto tiene sentido?

No estoy seguro acerca de la parte: $u\left ( px + (1-p)z \derecho ) = pu(x) + (1-p)u(z)$. Esta es una forma legítima de escritura de la prueba para el caso de los tres resultados?

Answer 1

Con el fin de hacer eso, usted necesita para definir $u(·)$ como una función de utilidad sobre el "seguro de que las cosas", en lugar de en juegos de azar. En tu ejemplo, usted necesita pensar en términos de un conjunto de posibles premios de las loterías. Dicen que el conjunto de posibles premios está dada por $R$ y asume que es finito. Para cualquier $i\in I$, definir $w_r$ como una lotería, que paga $r$ en cada estado de la naturaleza. Entonces, debe quedar claro que

$$x \sim \sum_i p_i w_i,$$

(y lo mismo para $y$ y $z$) donde $p_i$ denota la probabilidad de estado $i.$ Dado que, como usted menciona, debe ser el caso de que dos igualmente deseables loterías recibir la misma utilidad esperada, la utilidad asignada a $x$ debe ser

$$H(x)=H\left(\sum_i p_i w_i\derecho).$$

El primer capítulo de Huang, C. y Litzenberger, R. H. Fundamentos de Economía Financiera, North Holland, 1988 explica en detalle por qué la función que representa las preferencias $(H(·))$ tiene que ser lineal, y, con la linealidad establecidos, se obtiene la utilidad esperada de la representación porque

$$H\left(\sum_i p_i w_i\right)=\sum_i p_i H(w_i).$$

La única cosa que queda es definir $u(r) \equiv H(w_r),$ i.e, $u(r)$ se define en los resultados, mientras que $H(w_r)$ se define en las loterías. Esta es la razón por la que decimos que $u(r)$ es una función de utilidad sobre las cosas de seguro, debido a que $r$ recibe el mismo nivel de utilidad que una lotería pagar, precisamente, $r$ en cada estado de la naturaleza.

Por supuesto, la utilidad esperada es más útil en entornos con grandes resultados en los espacios y/o grandes loterías espacios. En un restringido ámbito como el suyo, usted está probablemente mejor servidos mediante la asignación de valores ("utilities") a las loterías sí mismos (como lo hizo en su pregunta). De nuevo, una más rigurosa prueba se puede encontrar en Huang y Litzenberger, op.cit.