Volatilidad implícita constante de Black Scholes

Question

Espero que alguien pueda aclarar mis ideas sobre la volatilidad implícita constante en el marco clásico de Black Scholes.

Como es sabido, los profesionales del mercado cotizan los precios de las opciones de compra y venta vainilla en términos de volatilidades implícitas. Para los insumos $K$ , $S$ , $r$ , $T$ y el precio de la opción $V$ se puede determinar la volatilidad implícita $$ de forma que

$V=BS(K,S,r,T,)$ (1)

Cuando las volatilidades implícitas cotizadas en el mercado se comparan con diferentes precios de ejercicio para un vencimiento fijo $T$ El gráfico tiene una forma típica de "sonrisa" y de ahí el nombre de "sonrisa de volatilidad".

La teoría dice que esto implica una deficiencia en el modelo de Black Scholes, ya que asume un parámetro de volatilidad constante, que no depende de $K$ ni $T$ . De ahí que la sonrisa de la volatilidad sea plana.

Aquí mis ideas se confunden. Suponiendo que $S$ , $r$ y $T$ se mantienen constantes, para un precio de mercado fijo $V$ de una opción vainilla la volatilidad implícita variará en función del valor del strike $K$ bajo el modelo de Black Scholes (1). Por lo tanto, si la volatilidad implícita se traza contra diferentes strikes para un $V$ efectivamente mostrará un comportamiento de sonrisa, lo que contrasta con lo que afirma la teoría.

Además, ¿las volatilidades implícitas cotizadas en el mercado que forman el smile de volatilidad según la teoría corresponden a un precio de opción vainilla fijo $V$ y con diferentes $K$ ?

Creo que estoy cometiendo un error en mi razonamiento, pero no entiendo dónde. Me gustaría que alguien me indicara la dirección correcta de mi pensamiento.

Gracias de antemano.

Answer 1

Parece usted algo perdido entre la teoría (el modelo) y la práctica (el mercado)

[Teoría]

El modelo Black-Scholes postula que la dinámica de "la acción" sigue una Movimiento browniano geométrico con volatilidad constante es decir, GBM $(r,\sigma)$ .

Matemáticamente, esto escribe $$ \frac {dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$

Los precios de las opciones europeas tienen una expresión de forma cerrada bajo esta hipótesis de modelización, dada por la célebre Fórmula Black-Scholes .

Si cree que el modelo independientemente de la opción que se valore (en otras palabras, cualquiera que sea el strike $K $ o tiempo de maduración $T $ ), por lo que siempre se enchufará la misma cifra de volatilidad $\sigma $ en la fórmula BS. Esto se debe a que todas estas opciones están escritas sobre el mismo subyacente $S$ que tiene una dinámica única, que se postuló como un GBM con volatilidad $\sigma $ y nada más .

[Práctica]

Ahora, mirando las comillas de las opciones reales y asumiendo que se han identificado los factores de descuento relevantes y la curva a plazo, cuando se intenta encontrar los valores de volatilidad que necesitan ser introducidos en la fórmula BS para recuperar los precios de mercado observados, se encuentra que estos números son no constante .

Para un vencimiento fijo, esto es lo que se conoce como el sonrisa de volatilidad . Para una huelga fija, esto es lo que se conoce como el estructura temporal de la volatilidad .

Porque las volatilidades son no constante En este caso, se violan los supuestos del marco de modelización Black-Scholes.

De hecho, utilizar diferentes volatilidades significaría efectivamente utilizar diferentes dinámicas subyacentes (recuerde que un valor específico de volatilidad = una dinámica específica en el mundo de la BS) para cada opción que está tratando de valorar, lo que no tiene ningún sentido ya que el subyacente es único.

En otras palabras, en contra de lo que predice la teoría, no se puede utilizar una única cifra de volatilidad para recuperar el precio de mercado de todas las opciones.

Cotizar las opciones en términos de volatilidad BS es estrictamente equivalente a cotizarlas en términos de precio porque, a través de la fórmula BS, existe un relación uno a uno entre la volatilidad y el precio .

Es más práctico porque: (1) el IV varía menos entre los strikes/maduros que los precios, lo que hace más fácil comparar las cosas en igualdad de condiciones (2) si usted delta-hedge en la volatilidad implícita su P&L será proporcional a la diferencia entre la volatilidad realizada y la implícita. Por eso la gente afirma que comprar opciones es como comprar volatilidad (aunque no se trata de una apuesta de volatilidad pura, debido a la dependencia de la trayectoria de sus ganancias y pérdidas a través del dólar Gamma).

Para concluir diría que no es el Modelo Black-Scholes que utilizan los profesionales del mercado, sino el Black-Scholes ecuación de precios .

Answer 2

Por lo tanto, si la volatilidad implícita se traza contra diferentes strikes para un $V$ efectivamente mostrará un comportamiento de sonrisa, lo que contrasta con lo que afirma la teoría.

La teoría Black-Scholes dice que el precio $V$ de una vainilla varía con el strike según la fórmula Black-Scholes. Donde se equivoca es en suponer $V$ constante en función de la huelga.

Answer 3

El modelo black-scholes requiere que la volatilidad sea constante a lo largo del tiempo . La razón es que la teoría asume un paseo aleatorio con una probabilidad constante de cada cambio en el precio subyacente.

No hace ninguna suposición de que la volatilidad sea la misma para todas las huelgas . Se podría argumentar que, dado que la volatilidad se supone que es una medida del activo subyacente, entonces debe ser constante, pero no invalida el modelo. El mercado real determina los precios de las opciones y, dado que tiende a dar un valor ligeramente superior (en igualdad de condiciones) a las opciones deep in-the-money y a las deep out-of-the-money, el implícito La volatilidad tiende a ser mayor cuanto más se aleja del at-the-money.