Valor en riesgo para un modelo de cartera con Gearing

Question

Mis modelos: Digamos que quiero construir una cartera para maximizar mi rentabilidad esperada y mantener mi riesgo (medido por el valor en riesgo) por debajo de mi objetivo de riesgo.

$$\max \sum x_i \mu_i \\ VaR_{0.05} \leq \text{RiskTarget} \\ \sum x_i = W \text{, (wealth)}$$ Ahora supongamos que puedo orientar mis inversiones al factor $k$ así que añado el $$\max \sum x_i \mu_i -rB \\ VaR \leq \text{Risk Target} \\ \sum x_i = W+B \\ B\leq Wk$$

Mi valor en riesgo se basa en 500 escenarios y mi VaR del 5% es el valor absoluto de la décima observación más baja de mi vector de PnL potencial. Digamos que hay $m$ diferentes activos en los que puedo invertir. $x_i$ es el valor del activo $i$ en mi cartera y no la cantidad de acciones.

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Mis hallazgos: Cuando experimento con este modelo, obtengo más o menos los mismos resultados incluso para tipos de interés bajos. Esto se debe a que mi Valor en Riesgo es una medida de riesgo absoluto y si compro $k$ veces más entonces mi VaR aumenta aproximadamente con el mismo factor, y mi objetivo de riesgo no lo permite.

Mi pregunta: ¿Debo calcular el VaR de forma diferente ahora que el dinero prestado ha entrado en el modelo?

En otras palabras: Dados mis 500 escenarios ( $R^{250 \times m }$ matriz) cómo debo calcular los 500 resultados posibles para una cartera determinada: $X=\{x_1,x_2,...,x_m\}$

Answer 1

Hay que tener en cuenta los costes de los préstamos en los escenarios (y los bajos tipos de interés actuales ayudan, por lo que es posible que se quiera comprobar también con tipos más altos). Dado que usted calcular el VaR a partir de los escenarios, esto empujará el VaR hacia hacia la izquierda (en términos de rentabilidad, es decir, lo empeorará).

La pregunta clave es si su presupuesto de riesgo puede soportar ese aumento del VaR, que también subirá por aproximadamente su factor de apalancamiento.

En cualquier caso, yo desconfiaría de basar una inversión en un número de VaR calculado a partir de una estadística de órdenes con sólo 500 escenarios. (Por cierto, la décima rentabilidad más pequeña es más bien el 2% de VaR). Un ejemplo: Supongamos que los rendimientos de la cartera se distribuyen normalmente distribuidos normalmente (es decir, el caso bonito), y se observan rendimientos diarios/VaR. La desviación estándar de esos rendimientos diarios es del 1%. Si tomo una muestra de 500 rendimientos de dicha distribución, las estadísticas de orden variarán bastante. En R, podría decir

range(replicate(20000, sort(rnorm(500, sd = 0.01))[10]))
## [1] -0.02667598 -0.01523161

Así que yo esperaría posiciones sustancialmente diferentes cuando se repite la optimización varias veces con diferentes escenarios de la misma distribución. Tal vez quiera considerar la posibilidad de aumentar el número de escenarios o utilizar un método alternativo (paramétrico/semiparamétrico) para calcular el VaR. El documento Los riesgos ocultos de la optimización de las carteras de bonos bajo el VaR explica algunos de estos problemas.