Dos maneras diferentes de fijación de precios que da lugar a dos respuestas

Question

Esta pregunta podría parecer trivial para muchos (teniendo en cuenta las preguntas en este sitio), pero creo que refleja algo fundamental que me estoy perdiendo.

Para mantener las cosas simples, asuma que todo el mundo es neutrales al riesgo y no hay inflación, etc, por lo que los precios son determinados usando los valores esperados.

Vamos a ser en el año 0. Considere la posibilidad de un activo que paga \$1 en el año 1 y \$1 en el año 2. Vamos a $r_{01}$ y $r_{02}$ denotar la (anual compuesta) 1 año de tipo de cambio spot y 2 años de tipo de cambio spot, respectivamente. El libro de manera que el precio de este activo es:

$$P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{1}{(1+r_{02})^2}$$

Aquí es un enfoque alternativo que parece razonable. Tenemos $P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{E[P_1]}{1+r_{01}}$ donde $P_1$ que se espera que el precio del activo va a recuperar en el año 1. En el tiempo 0, $P_1$ es todavía una variable aleatoria y se calcula en $P_1 = \frac{1}{1+r_{12}}$ donde $r_{12}$ es la de un año contado cuando estamos en el año 1 (por lo tanto, esta es una variable aleatoria en el año 0). En este caso,

$$P_0 = \frac{1}{1+r_{01}} + \frac{E[P_1]}{1+r_{01}} = \frac{1}{1+r_{01}} + E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}$$

Si estos dos métodos de fijación de precios son iguales, entonces uno necesita

$$ \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}$$

No me parece que esto debe ser así. De hecho, creo que es el caso de que $(1+r_{01})E(1+r_{12})=(1+r_{02})^2$ [teniendo en cuenta la cantidad esperada \$1 menores de dos años de tira o vuelco de un año de tiras va a ganar; si LHS>RHS, a continuación, pedir prestado \$1 en efectivo usando $(1+r_{02})^2$ unidades de 2 años de tiras y prestar todo ese dinero en efectivo en $1+r_{01}$ unidades de 1 año de tiras y de la cuaresma a cabo todas las ganancias de nuevo al final del año 1 de $(1+r_{01})(1+r_{12})$ unidades de 1 año de la tira para hacer ganancias en el año 2 en espera]. Desde $E(1/X)\neq 1/E(X)$ en general, los dos métodos de fijación de precios puede conducir a la igualdad de resultados. ¿Cómo puedo resolver esta contradicción?

Answer 1

$$\frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}$$

De hecho, en la medida de fijación de precios, la distribución de $r_{12}$ tiene que ser tal que esta relación se mantiene.

Si usted mira a la deriva derivaciones de la tasa LIBOR, el modelo de mercado, una gran cantidad de trabajo que va a hacer este tipo de ecuación de espera.

Answer 2

No hay ningún conflicto aquí. En la identidad, \begin{align*} \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}, \end{align*} la expectativa es que en virtud de la año-1 adelante la medida. Sin embargo, en la identidad de \begin{align*} (1+r_{01})E(1+r_{12})=(1+r_{02})^2, \end{align*} la expectativa es que en virtud de la año-2 adelante la medida.

A modo de ilustración, deje que $P(t, u)$ ser el precio en el tiempo $t$ de un bono cupón cero con vencimiento $u$ y unidad de valor nominal. Por otra parte, vamos $B_t$ ser el mercado de dinero de la cuenta (o cuentas de depósito) valor en el tiempo $t$. De notaciones, vamos a $T_1=1$ y $T_2=2$. Entonces \begin{align*} r_{12} &\triangleq L(T_1; T_1, T_2)\\ &=\frac{1}{T_2-T_1}\left(\frac{P(T_1, T_1)}{P(T_1, T_2)}-1\derecho)\\ &=\frac{1}{P(T_1, T_2)}-1. \end{align*} Tomamos nota también de que $ P(0, T_1) = \frac{1}{1+r_{01}}, $ y $ P(0, T_2) = \frac{1}{(1+r_{02})^2}. $ Vamos a $E$, $E_1$, y $E_2$, respectivamente, la expectativa de los operadores de bajo riesgo-neutral de la medida $P$, el año 1 de avance de la medida $P_1$ y el año 2 de la medida $P_2$.

Es bien sabido que el proceso de $\{L(t; T_1, T_2) \mediados de 0\leq t \leq T_1 \}$ es una martingala bajo el año-2 adelante la medida. Entonces \begin{align*} E_2(1+r_{12}) &= E_2(1+L(T_1; T_1, T_2))\\ &= 1+ L(0; T_1, T_2)\\ &= \frac{P(0, T_1)}{P(0, T_2)}\\ &= \frac{(1+r_{02})^2}{1+r_{01}}. \end{align*} Es decir, \begin{align*} (1+r_{01})E_2(1+r_{12})=(1+r_{02})^2. \end{align*}

Por otro lado, tenga en cuenta que, por $0 \leq t \leq T_1$, \begin{align*} \frac{dP}{dP_1}\big|_t = \frac{B_t P(0, T_1)}{P(t, T_1)}. \end{align*} A continuación, \begin{align*} \frac{1}{(1+r_{02})^2} &= P(0, T_2)\\ &= E\left(\frac{1}{B_{T_2}}\derecho)\\ &= E\left(\frac{1}{B_{T_1}}E\left(\frac{B_{T_1}}{B_{T_2}} \mid \mathcal{F}_{T_1}\derecho)\derecho)\\ &= E\left(\frac{1}{B_{T_1}} P(T_1, T_2)\derecho)\\ &= E_1\left(\frac{dP}{dP_1}\big|_{T_1} \frac{1}{B_{T_1}} P(T_1, T_2)\derecho)\\ &= P(0, T_1)E_1(P(T_1, T_2))\\ &= P(0, T_1)E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\derecho)\\ &= \frac{1}{1+r_{01}}E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\derecho), \end{align*} donde $\mathcal{F}_{T_1}$ es el conjunto de información en vez de $T_1$. Es decir, \begin{align*} \frac{1}{(1+r_{02})^2} = E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\right)\frac{1}{1+r_{01}}. \end{align*}

EDIT: El último de la identidad también puede ser demostrado por la medida de cambio entre las medidas $P_1$ y $P_2$. Específicamente, para $0 \leq t \leq T_1$, \begin{align*} \frac{dP_1}{dP_2}\big|_t = \frac{P(t, T_1)P(0, T_2)}{P(t, T_2)P(0, T_1)}. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} E_1\left(\frac{1}{1+r_{12}}\derecho) &= E_1\left(P(T_1, T_2)\derecho)\\ &= E_2\left(\frac{dP_1}{dP_2}\big|_{T_1} P(T_1, T_2)\derecho)\\ &= \frac{P(0, T_2)}{P(0, T_1)}\\ &= \frac{1+r_{01}}{(1+r_{02})^2}. \end{align*}

Answer 3

Si los precios no eran iguales, no sería inmediata de arbitraje oportunidad como la que se puede bloquear en la velocidad de avance de hoy. De ahí que la ley de un solo precio se mantiene.