¿Qué $\int dS \phi (S - K)$ significar en Gatheral del libro?

Question

En Gatheral, el libro de volatilidad estocástica, escribe el precio de una opción como $$\int_K^\infty dS \phi (S - K)$$

donde $\phi$ es de una densidad.

¿De dónde proviene?

Tengo varias preguntas:

1. Por qué se escribe $dS$ antes de que el integrando?
2. ¿Por qué usar la palabra "opción" y no de "opción de compra", ya que eso es lo que parece ser?
3. De dónde viene la fórmula vienen? Entiendo que en el habitual negro scholes ajuste, el precio es de $\int_K^\infty (S - K) dQ$ donde $P$ es el riesgo-neutral medida. ¿Este resultado también tienen, en general, de volatilidad estocástica de configuración, y si es así, ¿cómo podemos llegar desde $\int_K^\infty (S - K) dQ$ a $\int_K^\infty (S-K) \phi dQ$? Él está diciendo: $\phi$ es la densidad de .. $S$ con respecto a la medida $dS$??

Answer 1

1. Es una mera cuestión de notación y se puede considerar que $$ \int f(x) dx \equiv \int dx f(x) $$
2. De hecho, es implícita de que la opción bajo escrutinio es un (Europea) opción call
3. Esto viene de la definición de la riesgo-neutral de la medida $\Bbb{Q}$, como la medida en que los precios de la auto-financiación de las carteras de martingales cuando se expresa en el mercado de dinero numéraire $B_t$. Suponiendo que cero las tasas de descuento, $B_t = 1, \forall t\geq 0$ y esto se convierte en \begin{align} C_0 &= B_0 \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[B_T^{-1}C_T] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[ C_T] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[ (S_T - K)^+ ] \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(S-K)^+ q(S) dS \\ &=\int_{K}^{\infty} (S-K) q(S) dS \\ &\equiv \int_{K}^{\infty} dS p(S) (S-K) \end{align} Es sólo que él denota el riesgo-neutral pdf $q(S)$ en $\phi$.