Supongamos que $\{W_t, t>=0\}$ es un movimiento browniano estándar. Cómo calcular $ \mathbb{E} \left[ W_2 W_3 \vert W_1 =0 \right]$ ? Lo sabemos $ W_2 \vert W_1 = 0 \sim N(0,1)$ y $ W_3 \vert W_1 = 0 \sim N(0,2)$ . Muchas gracias.
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otto.poellath
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La expectativa condicional con respecto a $W_1=0$ puede tratarse como la expectativa condicional con respecto a $W_1$ y, a continuación, establezca $W_1$ a 0. Ver más discusiones en esta pregunta .
Tenga en cuenta que $W_3 = W_3-W_2+W_2$ y $W_2 = W_2-W_1+W_1$ . Entonces \begin{align*} E\big(W_2W_3\mid W_1\big) &= E\Big(\big(W_3-W_2\big)\big(W_2-W_1\big)\\ &\qquad+ \big(W_3-W_2\big)W_1 + \big(W_2-W_1\big) W_2 + W_2 W_1\mid W_1\Big)\\ &=E\Big(\big(W_2-W_1\big) W_2 + W_2 W_1\mid W_1\Big)\\ &=E\Big(W_2^2\mid W_1\Big)\\ &=E\Big(\big(W_2-W_1\big)^2 + 2\big(W_2-W_1\big) W_1 + W_1^2\mid W_1\Big)\\ &=1+ W_1^2. \end{align*} Eso es, \begin{align*} E\big(W_2W_3\mid W_1=0\big)=1. \end{align*}
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Pista: $\mathbb{E} \left[ W_2 W_3 \vert W_1 = 0 \right] = \mathbb{E} \left[ W_1 W_2 \right]$ . A continuación, utilice $W_2 = W_1 + \left( W_2 - W_1 \right)$ .
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Alternativamente, $E(W_2W_3\mid W_1=0) = E(W_2^2\mid W_1=0)$ .
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Estás preguntando por propiedades muy básicas del movimiento browniano y de la expectativa condicional. Eche un vistazo, por ejemplo, a los primeros capítulos del libro de Shreve "Stochastic Calculus for Finance II".
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$\bf{E}[W_t W_u | W_s = 0] =\bf{E}[W_{t-s} W_{u-s}] $ desde $W_0=0$ Se trata de un cambio de hora por $-s$ en los tres subíndices.
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Para Alex C: ¿Cómo demuestras que E[WtWu|Ws=0] = E[Wt-sWu-s]? ¿Qué fuente ( libro o sitio web ) para obtener la prueba de su afirmación? Muchas gracias.