Supongamos que {Wt,t>=0} es un movimiento browniano estándar. Cómo calcular E[W2W3|W1=0] ? Lo sabemos W2|W1=0∼N(0,1) y W3|W1=0∼N(0,2) . Muchas gracias.
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otto.poellath
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La expectativa condicional con respecto a W1=0 puede tratarse como la expectativa condicional con respecto a W1 y, a continuación, establezca W1 a 0. Ver más discusiones en esta pregunta .
Tenga en cuenta que W3=W3−W2+W2 y W2=W2−W1+W1 . Entonces E(W2W3∣W1)=E((W3−W2)(W2−W1)+(W3−W2)W1+(W2−W1)W2+W2W1∣W1)=E((W2−W1)W2+W2W1∣W1)=E(W22∣W1)=E((W2−W1)2+2(W2−W1)W1+W21∣W1)=1+W21. Eso es, E(W2W3∣W1=0)=1.
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Pista: E[W2W3|W1=0]=E[W1W2] . A continuación, utilice W2=W1+(W2−W1) .
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Alternativamente, E(W2W3∣W1=0)=E(W22∣W1=0) .
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Estás preguntando por propiedades muy básicas del movimiento browniano y de la expectativa condicional. Eche un vistazo, por ejemplo, a los primeros capítulos del libro de Shreve "Stochastic Calculus for Finance II".
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E[WtWu|Ws=0]=E[Wt−sWu−s] desde W0=0 Se trata de un cambio de hora por −s en los tres subíndices.
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Para Alex C: ¿Cómo demuestras que E[WtWu|Ws=0] = E[Wt-sWu-s]? ¿Qué fuente ( libro o sitio web ) para obtener la prueba de su afirmación? Muchas gracias.