[AÑADIDO/MODIFICADO] : he puesto mi prueba donde la mercancía espacio es simplemente $\mathbb{R_+}$(por ejemplo, no negativo reales) por simplicidad a continuación. Por favor comparta sus 2 ciento. He puesto palabras a la ayuda de mi propio entendimiento...
Estoy tratando de entender que un equivalente en forma de establecer "una relación de preferencia que es continua en $X$ es continua", es decir "el superior y el inferior contornos conjuntos son cerrados". Lo que no entiendo es cuando MWG en Micro Libro en el Capítulo 3, dice lo siguiente :
La continuidad de $\succsim$ X implica que para cualquier secuencia de puntos $\{y^n\}$ con $x\succsim y^n$ $\forall n$ y $y^n$ convergentes a $y$, tenemos que $x\succsim y$. Y, esto implica el contorno inferior $L(x)=\{y\en X:x\succsim y\}$ conjunto es cerrado.
Mi pregunta es: ¿cómo es la afirmación anterior implica el contorno inferior de conjunto es cerrado?
[Nuevo Intento De] Prueba:
(1) Recordemos Que La Definición 3.C.1(Modificado de $\mathbb{R}$):
La preferencia de la relación $\succsim$ en $X\subconjunto\mathbb{R_+}$ es continua si se conserva en límites. Esto es, para cualquier secuencia de pares $\{(x^n, y^n)\}^\infty_{n=1}$ con $x^n \succsim y^n$ para todo $n$, $x = \lim_{n \rightarrow \infty} x^n$, y $y = \lim_{n \rightarrow \infty} y^n$, tenemos que $x \succsim y$.
(En palabras, si usted tiene una secuencia de reales $x^n$ y $y^n$ donde cada término en $x^n$ es mayor o igual que la de en $y^n$ y $x^n\rightarrow$ x, $y^n\rightarrow$ y, a continuación, usted tiene $x\succsim y$. Aviso aquí, para facilitar la comprensión, yo, básicamente, se equipara la preferencia de relación como la de\igualdad en reales, por lo tanto la expresión "mayor o igual". Un ejemplo es $x=2,y=1$. Esencialmente, mira la clase de equivalencia de 2 y 1 en línea real con la restricción de que no es cualquier sucesión convergente a estos números, pero se tiene que reducir al grupo de secuencias convergentes donde cada término en $x^n$ es mayor o igual que la de en $y^n$.)
(2) La definición anterior implica lo siguiente: para cualquier secuencia de pares $\{(x^n, y^n)\}^\infty_{n=1}$ con $x\succsim y^n$ $\forall n$, donde $x^n=x$ $\forall n$ con $y^n$ convergentes a $y$, tenemos que $x\succsim y$.
((1) implica (2), porque una vez más pensar en el ejemplo, $x^n=2, 2, 2, \dots$ y $y^n$ ser cualquier miembro de la clase de equivalencia de 1 con la restricción de que cada término tiene que ser menor o igual a 2. ¿Cómo funciona el conjunto de las secuencias $y^n$, para satisfacer esta condición de la realidad en la recta real? Cada término tiene que ser menor o igual a 2, pero estamos en el positivo de los productos básicos espacio de $\mathbb{R_+}$, por lo que disponemos de un conjunto de secuencias acotada en el intervalo $[0,2]$ pero convergentes en el número 1. Este ejemplo es válido para cualquier par de secuencias de reales $x^n\geq y^n$ donde $y^n$, la secuencia de los reales es un almacén de secuencia en $[0,x]$ convergente a un punto de $y\[0,x]$ mientras $x^n=x,x,x,\dots$ tenemos que $x\geq y$.)
(3) Definir el contorno inferior fijado en $L(x)=\{y\en X:x\succsim y\}$. Luego, (2) implica $L(x)$ es cerrado.
(En (2), hemos logrado que para cualquier par de secuencias de reales $x^n\geq y^n$ donde $y^n$, la secuencia de los reales es un almacén de secuencia en $[0,x]$ convergente a un punto de $y\[0,x]$ mientras $x^n=x,x,x,\dots$ tenemos que $x\geq y$. El contorno inferior de conjunto es exactamente una colección de números reales $y$ que es menor o igual a unos $x$ en la recta real. Entonces para cualquier número real $ $ y\[0,x]$, tenemos una secuencia de reales delimitada por $0$ y $x$ donde converge a $y$.Entonces, $L(x)$ contiene toda su límite de puntos. Por lo tanto, es cerrado).
[Viejo Intento] Mi instinto fue para mostrar el contorno inferior de conjunto es cerrado es equivalente a mostrar el conjunto que contiene todas sus límite de puntos. Y ¿cómo hacer esto? Bueno, en este caso, se trata de mostrar si, dicen que el contorno inferior de conjunto, contiene los puntos de su contorno. Estos puntos de recolección es sólo el de la indiferencia conjunto $I(x)=\{y\en X:y\sim x\}$.
Entonces, quiero mostrar a $I(x)\subconjunto L(x)$.
Prueba : (1) Supongamos que $x\in I(x)$.
(2) Por definición, $x\succsim y$ y $y\succsim x$ $\iff x\sim$ y. Por lo tanto, $I(x)=\{y\en X:y\succsim x\}\cap\{y\en X:x\succsim y\}$.
(3) por lo tanto, $x\in L(x)$ y $I(x)\subconjunto L(x)$. Q. E. D.
Es mi enfoque incompleto y cómo debo hacer sentido de GTH de la afirmación anterior? Por favor, ayudar. Gracias!!
